Критична точка (математика)

Критичною точкою диференційовної функції $f:D\to \mathbb {R}$, де $D\,$ — область в $\ R^{n}$, називається точка, в якій всі її часткові похідні дорівнюють 0. Ця умова еквівалентна рівності нулю диференціала функції в даній точці, а також рівносильна горизонтальності дотичної до графіка функції гіперплощини. Ця умова є необхідною (але не достатньою) для того, щоб внутрішня точка області могла бути точкою локального мінімуму або максимуму функції.

Значення функції в критичній точці називається критичним значенням. Згідно з лемою Сарда, множина критичних значень будь-якої $\,C^{1}$-гладкої функції $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ має нульову міру Лебега (хоча критичних точок при цьому може бути скільки завгодно, наприклад, для функції $f=const$ будь-яка точка є критичною).

Поняття критичної точки допускає узагальнення на випадок диференційовних відображень $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, і на випадок диференційовних відображень довільних многовиді $f:N^{n}\to M^{m}$. У цьому випадку визначення критичної точки полягає в тому, що ранг матриці Якобі відображення $f$ у ній менший максимального можливого (що дорівнює $\min\{n,m\}$).

Критичні точки функцій і відображень грають важливу роль в таких галузях математики, як диференціальні рівняння, варіаційне числення, теорія стійкості, а також в механіці і фізиці. Дослідження критичних точок гладких відображень становить одне з основних питань теорії катастроф.

Поняття критичної точки узагальнюється також на випадок функціоналів, визначених на нескінченновимірних функціональних просторах. Пошук критичних точок таких функціоналів є важливою частиною варіаційного обчислення. Критичні точки функціоналів (які, у свою чергу, є функціями) називаються екстремалями.

Формальне визначення

Критичною точкою (або особливою точкою, або стаціонарною точкою) неперервно диференційовної функції (відображення) $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ називається така точка $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, в котрій диференціал $f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x}}$ є виродженим лінійним перетворенням відповідних дотичних просторів в точках $x_{0}$ і $f(x_{0})$, тобто розмірність образу $f_{*}$ менша $\min\{n,m\}$. В координатному записі це значить що ранг матриці Якобі функції $f$, складеної із всіх часткових похідних ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(x_{0}),$ $i=1,\ldots ,n,$ $j=1,\ldots ,m,$ менший свого максимально можливого значення $\min\{n,m\}$.

Простори $\mathbb {R} ^{n}$ і $\mathbb {R} ^{m}$ в цьому визначенні можуть бути замінені на многовиди $N^{n}$ і $M^{m}$ таких же розмірностей.

Випадок $m=1$

У разі $m=1$ дане визначення означає, що градієнт $\nabla f=(f'_{x_{1}},\ldots ,f'_{x_{n}})$ у даній точці перетворюється в нуль. У найпростішому випадку $n=m=1$ це означає, що похідна $f'$ у даній точці дорівнює нулю.

Критична точка називається невиродженою, якщо в ній гессіан ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}$ відмінний від нуля. Якщо $f$ має клас гладкості не нижче $C^{3}$, то в околиці невиродженої критичної точки існують координати, в яких функція $f(x)$ має квадратичну нормальну форму (лема Морса).

При $m=1$ має сенс питання про максимум і мінімумі функції. Відповідно до відомого твердженням математичного аналізу, безперервно диференційовна функція $f$, визначена у всьому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ або у його відкритій підмножині, може досягати локального максимуму (мінімуму) тільки в критичних точках, причому якщо точка невироджена, то матриця ${\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr )},$ $i,j=1,\ldots ,n,$ у ній повинна бути від'ємно (додатно) визначена. Останнє є також достатньою умовою локального максимуму (мінімуму).

Див. також

• Лема Ферма
• Індекс критичної точки

Джерела

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, (рос.) — будь-яке видання.
• Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, (рос.) — будь-яке видання.