Комплексна площина

Комплексна площина $\mathbb {C}$ — множина впорядкованих пар $(x,y)$, де $\ x,y\in \mathbb {R}$. Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел $\mathbb {C}$ за принципом $\ (x,y)\equiv x+iy$. Це дозволяє ввести алгебричні операції на площині $\mathbb {C}$. Розглянемо топологічні властивості комплексної площини і не будемо проводити різниці між парою $\ z=(x,y)$ і комплексним числом $\ z=x+iy$.

Геометричне представлення z і його спряжене число z̅ в комплексній площині. Довжина одного блакитного відрізку від початку координат до точки z є модулем або абсолютним значенням z. Кут φ є аргументом z.

Концепція комплексної площини, дозволяє привести комплексні числа у геометричному сенсі. Операцію додавання, здійснювати як додавання векторів. Множення двох комплексних чисел можна у найпростішому вигляді можна виразити в полярних координатах—величина або модуль добутку це добуток двох абсолютних величин, або модулів, а кут або аргумент добутку є сумою двох кутів, або аргументів. Зокрема, множення на комплексне число із модулем, що дорівнює 1 приводить до обертання.

Комплексну площину іноді називають площиною Арганда, а геометричні графіки на цій площині діаграмами Арганда. Вони незвані в честь Роберта Аргана (1768—1822), хоча вперше їх описав норвезько-данський землевпорядник і математик Каспар Вессель (1745—1818).

Загальні позначення

В комплексному аналізі, комплексні числа зазвичай позначаються символом z, в якому виділяють його дійсну (x) і уявну (y) частини:

$z=x+iy$

наприклад: z = 4 + 5i, де x і y є дійсними числами, і i є уявною одиницею. В цьому загальному позначенні комплексне число z відповідає точці (x, y) на декартовій площині.

В декартовій системі координат, точку (x, y) також можна представити в полярних координатах наступним чином

$(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\qquad (r,\theta )=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \arctan {\frac {y}{x}}\right).$

Для декартової площини можна припустити що арктангенс приймає значення лише від −π/2 до π/2 (в радіанах), і варто обережно поводитися при використанні функції арктангенса для точок (x, y) при x ≤ 0. В комплексній площині дані полярні координати будуть мати форму

$z=x+iy=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=|z|e^{i\theta }$

де

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arg(z)={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\,$

Тут |z| є абсолютним значенням або модулем комплексного числа z; θ, це аргумент числа z, його зазвичай обирають в інтервалі 0 ≤ θ < 2π; а остання рівність (|z|e^iθ) взята із формули Ейлера. Слід зауважити, що без обмеження діапазону значень кута θ, аргумент z буде мати множину значень, оскільки комплексна експоненційна функція періодична, і має період 2π i. Тому, якщо θ є одним із значень arg(z), то іншими значення будуть задаватися як arg(z) = θ + 2nπ, де n приймає усі цілі значення ≠ 0.

Топологія комплексної площини

Відкриті множини

Фундаментальне поняття околу вводиться на комплексній площині таким чином — околом ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ точки $z_{0}\in \mathbb {C}$ називається множина виду ${\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$. Геометрично на комплексній площині околи мають вигляд кола з центром в певних точках комплексної площини. Інколи для зручності необхідно розглядати і проколоті околи ${\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}={\mathcal {U}}_{z_{0}}\setminus \{z_{0}\}$.

Визначимо відкриту множину — згідно з визначенням із загальної топології, відкритою множина буде, якщо вона для будь-якої своєї точки містить деякий її окіл.

Точка згущення і замкнена множина

Точка $z_{0}\in \mathbb {C}$ буде точкою згущення для множини $G\subset \mathbb {C}$, якщо для довільного околу ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ перетин ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G$ буде не порожнім. Іншими словами, точка є точкою згущення, якщо в довільній «близькості» до неї завжди можна знайти точки множини. Множина точок згущення називається похідною і позначається G'.

Множина $G\subset \mathbb {C}$ буде називатися замкнутою, якщо для неї справедливим є включення $G'\subset G$. Очевидно, що для довільної множини $G$ множина ${\overline {G}}=G\cup G'$ буде замкненою; вона називається замиканням множини $G$.

Границя

Точка $z_{0}\in \mathbb {C}$ буде називатися граничною для множини $G\subset \mathbb {C}$, якщо для довільного околу ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ перетин ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G$ і ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap ({\mathbb {C} }\setminus G)$ будуть не порожніми. Множина всіх граничних точок називається граничною множиною $\partial G$ або просто границею.

Всюди щільні множини

Множина $E\subset \mathbb {C}$ буде називатися всюди щільною в іншій множині $G\subset \mathbb {C}$, якщо для довільної точки $z_{0}\in G$ і будь-якого околу ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ перетин ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap E$ не порожній.

Зв'язність

Відстань між множинами

Як відомо з елементарної математики, на комплексній площині відстань між двома точками дорівнює модулю їх різниці. Тепер визначимо відстань між точкою $z_{0}$ і деякою множиною $G\subset \mathbb {C}$ як величину $\mathrm {dist} \,(z_{0},G)=\inf _{z\in G}|z-z_{0}|$.

На базі цього поняття вже можна визначити відстань між двома довільними множинами в $\mathbb {C}$: $\mathrm {dist} \,(G_{1},G_{2})=\inf _{z\in G_{1}}\mathrm {dist} \,(z,G_{2})=\inf _{z\in G_{2}}\mathrm {dist} \,(z,G_{1})$.

Зв'язність

Множина $G\subset \mathbb {C}$ називається Зв'язною, якщо для неї виконано співвідношення $\inf _{z_{1},z_{2}\in G}|z_{1}-z_{2}|=0$. Якщо дана величина не дорівнює нулю, то множина називається незв'язним. Можна показати, що незв'язну множину $G$ можна представити у вигляді об'єднання (скінченного або зліченного) $\sum G_{n}$, де $G_{n}$ — зв'язні множини, що не перетинаються, називаються зв'язними компонентами множини $G$. Потужність множини зв'язних компонент називається порядком зв'язності.

Випуклі, спряжені і лінійно зв'язані множини

Множина $G\subset \mathbb {C}$ називається спряженою відносно точки $z_{0}\in G$, якщо для довільної точки $z\in G$ виконується включення ${\overline {z_{0}z}}\subset G$.

Множина $G\subset \mathbb {C}$ називається випуклою, якщо вона спряжена відносно будь-якої своєї точки. Множина $G^{*}$ називається випуклою оболонкою множини $G$, якщо вона випукла, $G\subset G^{*}$ і для будь-якої випуклої множини $G^{**}$, що містить множину $G$ виконується включення $G^{*}\subset G^{**}$.

Ламаною $\Gamma$ називається множина точок комплексної площини, що представляється у вигляді об'єднання відрізків. Множина $G$ називається лінійно зв'язною, якщо для двох довільних точок $z_{1},z_{2}\in G$ існує ламана $\Gamma \subset G$ така, що виконується $z_{1},z_{2}\in \Gamma$.

Можна довести, що будь-яка лінійно зв'язана множина буде зв'язною. Звідси наслідком є те, що зв'язні всі випуклі і спряжені множини.

Криві на $\mathbb {C}$

Криві и шляхи

Кривою або шляхом на комплексній площині $\mathbb {C}$ називається відображення вигляду $\varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C}$. Особливо слід зазначити, що при такому визначенні можна конкретизувати не тільки вигляд кривої, який буде залежати від аналітичних властивостей функції $\varphi (t)$, але й її напрямок. Наприклад, функції $\varphi (t)$ і $\eta (t)=\varphi (1-t)$ будуть визначати однакову за виглядом криву, але вона буде проходити в протилежних напрямках.

Гомотопія кривих

Криві $\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C}$ и $\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C}$ називаються гомотопними, якщо існує крива $\xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb {C}$, що залежить від параметра $q$ таким чином, що $\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$ і $\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$.

Розширена комплексна площина і нескінченно віддалена точка

У комплексному аналізі часто корисно розглядати розширену комплексну площину, доповнену, порівняно зі звичайною, нескінченно віддаленою точкою $(z=\infty )$:

${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

геометрично точка $\infty$ зображується точкою сфери Рімана (її «північний полюс»).

За такого підходу необмежено ростуча (за модулем) послідовність вважається такою, що збігається до нескінченно віддаленої точки. Алгебричні операції з нескінченністю не виконуються, хоча кілька алгебричних співвідношень мають місце:

• ${\frac {z}{\infty }}=0;\ \ z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$
• $z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)$

$\varepsilon$-околом нескінченно віддаленої точки вважається множина точок $z$, модуль яких більший, ніж $1 \over \varepsilon$, тобто зовнішня частина $1 \over \varepsilon$-околів початку координат.

Розширена комплексна площина називається також сферою Рімана, оскільки вона ізоморфна звичайній сфері $S^{2}$ (ізоморфізм можна встановити, наприклад, за допомогою стереографічної проєкції). Комплекснозначні функції в деяких випадках можна продовжити на сферу Рімана. Оскільки прямі на площині (за стереографічної проєкції) переходять у кола на сфері, що містять нескінченно віддалену точку, комплексні функції зручніше розглядати на сфері.^{[уточнити]}

Див. також

• Словник термінів загальної топології