В обчислювальній математиці , квадратурні формули використовують для апроксимації визначеного інтеграла заданої функції . Зазвичай являють собою скінченну суму зважених значень функції в певних точках (вузлах) з області інтегрування. (більше про квадратурні формули див. чисельне інтегрування ) n -точковою квадратурою Гаусса , або квадратурною формулою Гаусса (на честь Карла Гаусса ), називається формула
∫ a b w ( x ) f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n w i f ( x i ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}).} що обчислює точне значення інтегралів для поліномів порядку не вище 2n − 1 з відповідним вибором вузлів x i w i i = 1, …, n .
Для знаходження вузлів і ваг квадратури використовують ортогональні поліноми на інтервалі інтегрування. Вибираючи різні поліноми для різних ваг отримують різні набори вузлів і вагових коефіцієнтів. Для найпоширеніших систем зазвичай виведені аналітичні формули, тому, щоб обчислити інтеграл на довільному проміжку, можна зробити заміну змінних, і використовувати стандартні квадратури. (див. Заміна змінних)
Формули основних квадратур
ред.
В наступній таблиці наведено найпоширеніші варіанти ваг і відповідних поліномів та інтервалів інтегрування
Інтервал
ω(x )
Ортогональні поліноми
Дивіться…
[−1, 1]
1 {\displaystyle 1\,} Поліноми Лежандра Квадратури Гаусса — Лежандра (−1, 1)
1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} Поліноми Чебишова (першого роду)Квадратури Гаусса — Чебишова[−1, 1]
1 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}} Поліноми Чебишова (другого роду)Квадратури Гаусса — Чебишова(−1, 1)
( 1 − x ) α ( 1 + x ) β , α , β > − 1 {\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1\,} Поліноми Якобі Квадратури Гаусса — Якобі[0, ∞)
e − x {\displaystyle e^{-x}\,} Поліноми Лаґерра Квадратури Гаусса — Лаґерра[0, ∞)
x α e − x {\displaystyle x^{\alpha }e^{-x}\,} Узагальнені поліноми Лаґерра
Квадратури Гаусса — Лаґерра(−∞, ∞)
e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} Поліноми Ерміта Квадратури Гаусса — Ерміта
Квадратури Гаусса — Лежандра
ред.
Один з найпоширеніших випадків, коли ω ( x ) = 1 {\displaystyle \omega (x)=1} поліноми Лежандра P n x ), а метод також називають квадратурою Гаусса — Лежандра. Вузли знаходять, як корені поліномів P n x ). Аналітичного співвідношення для них немає, а для вагових коефіцієнтів n -го порядку формула має вигляд:
w i = 2 ( 1 − x i 2 ) [ P n ′ ( x i ) ] 2 . {\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)[P'_{n}(x_{i})]^{2}}}.\,\!} Значення для деяких квадратур низького порядку наведено в таблиці:
Кількість вузлів, n
Точні значення
Заокруглені значення
Вузли, x i
Ваги, w i
Вузли, x i
Ваги, w i 1
0 {\displaystyle 0} 2 {\displaystyle 2} 0
2
2
± 1 / 3 {\displaystyle \pm {\sqrt {1/3}}} 1 {\displaystyle 1} ±0.57735027
1
3
0 {\displaystyle 0} 8 9 {\displaystyle {\tfrac {8}{9}}} 0
0.88888889
± 3 / 5 {\displaystyle \pm {\sqrt {3/5}}} 5 9 {\displaystyle {\tfrac {5}{9}}} ±0.77459667
0.55555556
4
± ( 3 − 2 6 / 5 ) / 7 {\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3-2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}} 18 + 30 36 {\displaystyle {\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}} ±0.33998104
0.65214515
± ( 3 + 2 6 / 5 ) / 7 {\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3+2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}} 18 − 30 36 {\displaystyle {\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}} ±0.86113631
0.34785485
5
0
128 225 {\displaystyle {\tfrac {128}{225}}} 0
0.56888889
± 1 3 5 − 2 10 / 7 {\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {10/7}}}}} 322 + 13 70 900 {\displaystyle {\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}} ±0.53846931
0.47862867
± 1 3 5 + 2 10 / 7 {\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {10/7}}}}} 322 − 13 70 900 {\displaystyle {\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}} ±0.90617985
0.23692689
Квадратури Гаусса — Чебишова
ред.
Для обчислення інтегралів на проміжку [-1;1] у випадку вагової функції w ( x ) = 1 1 − x 2 {\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} поліноми Чебишова першого роду T n
x i = cos ( 2 i − 1 2 n π ) {\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)} w i = π n {\displaystyle w_{i}={\frac {\pi }{n}}} Коли ж w ( x ) = 1 − x 2 {\displaystyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}} поліноми Чебишова другого роду U n
x i = cos ( i n + 1 π ) {\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right)} w i = π n + 1 sin 2 ( i n + 1 π ) . {\displaystyle w_{i}={\frac {\pi }{n+1}}\sin ^{2}\left({\frac {i}{n+1}}\pi \right).\,} Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n
поліноми першого роду
поліноми другого роду
Вузли, x i
Ваги, w i
Вузли, x i
Ваги, w i 1
0
π {\displaystyle \pi } 0
π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 2
± 2 / 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {2}}/2} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} ± 1 / 2 {\displaystyle \pm 1/2} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 3
0
π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 0
π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} ± 3 / 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {3}}/2} ± 2 / 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {2}}/2} π 8 {\displaystyle {\frac {\pi }{8}}} 4
± 2 + 2 / 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\Big /}2} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} ± ( 5 + 1 ) / 4 {\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}+1)/4} π 5 − 5 40 {\displaystyle \pi {\frac {5-{\sqrt {5}}}{40}}} ± 2 − 2 / 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{\Big /}2} ± ( 5 − 1 ) / 4 {\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}-1)/4} π 5 + 5 40 {\displaystyle \pi {\frac {5+{\sqrt {5}}}{40}}} 5
0
π 5 {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}} 0
π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} ± 10 + 2 5 / 4 {\displaystyle \pm {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4} ± 3 / 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {3}}/2} π 24 {\displaystyle {\frac {\pi }{24}}} ± 10 − 2 5 / 4 {\displaystyle \pm {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4} ± 1 / 2 {\displaystyle \pm 1/2} π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}
Квадратури Гаусса — Якобі
ред.
Для вагової функції w ( x ) = ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β {\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }} α і β > −1 використовують поліноми Якобі P n (α ,β ) (x ). В такому разі, вагові коефіцієнти можна знайти зі співвідношення:
w i = − 2 n + α + β + 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) ( n + 1 ) ! 2 α + β P n ′ ( x i ) P n + 1 ( x i ) , {\displaystyle w_{i}=-{\frac {2n+\alpha +\beta +2}{n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)(n+1)!}}{\frac {2^{\alpha +\beta }}{P'_{n}(x_{i})P_{n+1}(x_{i})}},} Квадратури Гаусса — Лаґерра
ред.
Щоб порахувати інтеграл ∫ − ∞ + ∞ e − x f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx.} поліномами Лаґерра L n L n
w i = x i ( n + 1 ) 2 [ L n + 1 ( x i ) ] 2 . {\displaystyle w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}[L_{n+1}(x_{i})]^{2}}}.} В більш загальному випадку w ( x ) = x α e − x {\displaystyle w(x)=x^{\alpha }e^{-x}} поліноми Лаґерра L n (α)
Квадратури Гауса — Ерміта
ред.
Для обчислення інтегралу ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx} x i поліномів Ерміта (фізичної версії) H n x ), а відповідні ваги w i
w i = 2 n − 1 n ! π n 2 [ H n − 1 ( x i ) ] 2 {\displaystyle w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}}
Формули деяких модифікованих квадратур
ред.
Окрім різних вагових функцій і інтервалів інтегрування, для знаходження вузлів і ваг можуть накладатись і інші додаткові умови.
Квадратури Гаусса — Радау
ред.
Квадратурою Гаусса — Радау (або квадратура Радау ) називають таку n точкову квадратуру, яка точна для поліномів порядку не вище 2n-3 , але початкова точка інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-1 вузол. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією представляється у вигляді:
∫ − 1 1 f ( x ) d x = w 1 f ( − 1 ) + ∑ i = 2 n w i f ( x i ) + E . {\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=w_{1}f(-1)+\sum _{i=2}^{n}w_{i}f(x_{i})+E.} Невідомі вузли xi для i = 2, …, n є коренями полінома P n − 1 ( x ) + P n ( x ) 1 + x {\displaystyle {\frac {P_{n-1}(x)+P_{n}(x)}{1+x}}} Pk , k -й поліном Лежандра .
Вага для першого вузла w 1 = 2 n 2 {\displaystyle w_{1}={\frac {2}{n^{2}}}}
w i = 1 − x i [ n P n − 1 ( x i ) ] 2 = 1 ( 1 − x i ) [ P n − 1 ′ ( x i ) ] 2 {\displaystyle w_{i}={\frac {1-x_{i}}{[nP_{n-1}(x_{i})]^{2}}}={\frac {1}{(1-x_{i})[P_{n-1}^{'}(x_{i})]^{2}}}} Залишковий член:
E = 2 2 n − 1 n [ ( n − 1 ) ! ] 4 [ ( 2 n − 1 ) ! ] 3 f ( 2 n − 1 ) ( ξ ) , ( − 1 < ξ < 1 ) . {\displaystyle E={\frac {2^{2n-1}n[(n-1)!]^{4}}{[(2n-1)!]^{3}}}f^{(2n-1)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1).} Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n
Точні значення
Заокруглені значення
Вузли, x i
Ваги, w i
Вузли, x i
Ваги, w i 2
− 1 {\displaystyle -1} 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} -1
0.5
1 / 3 {\displaystyle 1/3} 3 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}} 0.33333333
1.6
3
− 1 {\displaystyle -1} 2 9 {\displaystyle {\tfrac {2}{9}}} -1
0.22222222
1 − 6 5 {\displaystyle {\tfrac {1-{\sqrt {6}}}{5}}} 16 + 6 18 {\displaystyle {\tfrac {16+{\sqrt {6}}}{18}}} -0.28989795
1.02497165
1 + 6 5 {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {6}}}{5}}} 16 − 6 18 {\displaystyle {\tfrac {16-{\sqrt {6}}}{18}}} 0.68989795
0.75280613
4
-1
0.125
-0.575319
0.657689
0.181066
0.776387
0.822824
0.440924
5
-1
0.08
-0.72048
0.446208
-0.167181
0.623653
0.446314
0.562712
0.885792
0.287427
Квадратури Гаусса — Лобатто
ред.
Також відомі як квадратури Лобатто , названі на честь нідерландського математика Рехюла Лобатто . Це такі n точкові квадратури, які точні для поліномів порядку не вище 2n – 3 , але початкова і кінцева точки інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n – 2 вузли. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією:
∫ − 1 1 f ( x ) d x = w 1 f ( − 1 ) + w n f ( 1 ) + ∑ i = 2 n − 1 w i f ( x i ) + E n . {\displaystyle \int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}=w_{1}f(-1)+w_{n}f(1)+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+E_{n}.} Вузли xi для i = 2, …, n-1 є i–1 -ми коренями полінома P'n-1 .
Перша й остання ваги w 1 , n = 2 n ( n − 1 ) {\displaystyle w_{1,n}={\frac {2}{n(n-1)}}}
w i = 2 n ( n − 1 ) [ P n − 1 ( x i ) ] 2 ( x i ≠ ± 1 ) . {\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_{i})]^{2}}}\quad (x_{i}\neq \pm 1).} Залишок у вигляді:
E n = − n ( n − 1 ) 3 2 2 n − 1 [ ( n − 2 ) ! ] 4 ( 2 n − 1 ) [ ( 2 n − 2 ) ! ] 3 f ( 2 n − 2 ) ( ξ ) , ( − 1 < ξ < 1 ) {\displaystyle E_{n}={\frac {-n(n-1)^{3}2^{2n-1}[(n-2)!]^{4}}{(2n-1)[(2n-2)!]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1)} Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n
Точні значення
Заокруглені значення
Вузли, x i
Ваги, w i
Вузли, x i
Ваги, w i 3 {\displaystyle 3} 0 {\displaystyle 0} 4 3 {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}} 0
1.33333333
± 1 {\displaystyle \pm 1} 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} ±1
0.33333333
4 {\displaystyle 4} ± 1 / 5 {\displaystyle \pm {\sqrt {1/5}}} 5 6 {\displaystyle {\tfrac {5}{6}}} ±0.44721360
0.83333333
± 1 {\displaystyle \pm 1} 1 6 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}} ±1
0.16666667
5 {\displaystyle 5} 0 {\displaystyle 0} 32 45 {\displaystyle {\tfrac {32}{45}}} 0
0.71111111
± 3 / 7 {\displaystyle \pm {\sqrt {3/7}}} 49 90 {\displaystyle {\tfrac {49}{90}}} 0.65465367
0.54444444
± 1 {\displaystyle \pm 1} 1 10 {\displaystyle {\tfrac {1}{10}}} ±1
0.1
6 {\displaystyle 6} ( 7 − 2 7 ) / 21 {\displaystyle {\sqrt {{\Big (}7-2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}} 14 + 7 30 {\displaystyle {\tfrac {14+{\sqrt {7}}}{30}}} 0.28523151
0.55485838
( 7 + 2 7 ) / 21 {\displaystyle {\sqrt {{\Big (}7+2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}} 14 − 7 30 {\displaystyle {\tfrac {14-{\sqrt {7}}}{30}}} 0.76505532
0.37847496
± 1 {\displaystyle \pm 1} 1 15 {\displaystyle {\tfrac {1}{15}}} ±1
0.06666667
Квадратури Гаусса — Кронрода
ред.
Зміна інтервалу інтегрування
ред.
Перш ніж застосувати квадратуру до інтеграла на відрізку [a , b ] він має бути трансформований в інтеграл на відрізку [−1, 1]. Для цього можна здійснити перетворення координат наступним чином:
∫ a b f ( x ) d x = b − a 2 ∫ − 1 1 f ( b − a 2 z + a + b 2 ) d z . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}z+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dz.} Застосувавши квадратуру Гаусса отримаємо наступну апроксимацію:
∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 2 ∑ i = 1 n w i f ( b − a 2 z i + a + b 2 ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}z_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).}
Див. також
ред.
Посилання
ред.
Цегелик Г. Г. 
![{\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)[P'_{n}(x_{i})]^{2}}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c364b68e1c96b2bcc6462d0aee73e8dc7fc8cbb)
![{\displaystyle w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}[L_{n+1}(x_{i})]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02bb38888002be1f4533e00fa77c17525633e0b2)
![{\displaystyle w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f802b7bf4ffb5d3c9a7911f8aa0e23ea6b961e9)
![{\displaystyle w_{i}={\frac {1-x_{i}}{[nP_{n-1}(x_{i})]^{2}}}={\frac {1}{(1-x_{i})[P_{n-1}^{'}(x_{i})]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c526a6bc426cffee3d15e9fa3feda1480c1d54)
![{\displaystyle E={\frac {2^{2n-1}n[(n-1)!]^{4}}{[(2n-1)!]^{3}}}f^{(2n-1)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818430a0b932a1a79140635a32d980d680efb5e4)
![{\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_{i})]^{2}}}\quad (x_{i}\neq \pm 1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3176e2d0cc66326dce4d697e5c992fe7f8f78890)
![{\displaystyle E_{n}={\frac {-n(n-1)^{3}2^{2n-1}[(n-2)!]^{4}}{(2n-1)[(2n-2)!]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaabbaf9a5f511066493b51778786797b8126b0)
