Формула перетворення
ред.
Доведення
ред.
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
=
∑
k
=
m
n
a
k
(
B
k
−
B
k
−
1
)
=
=
∑
k
=
m
n
a
k
B
k
−
∑
k
=
m
n
a
k
B
k
−
1
=
=
∑
k
=
m
n
a
k
B
k
−
∑
k
=
m
−
1
n
−
1
a
k
+
1
B
k
=
=
a
n
B
n
+
∑
k
=
m
n
−
1
a
k
B
k
−
∑
k
=
m
n
−
1
a
k
+
1
B
k
−
a
m
B
m
−
1
=
=
a
n
B
n
−
a
m
B
m
−
1
−
∑
k
=
m
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
B
k
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k-1}=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}}
Оцінка сум добутків двох чисел
ред.
Дискретне перетворення використовується для оцінок сум виду
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
,
{\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}b_{k},}
які використовуються для дослідження збіжностей числових рядів.
Нехай
(
a
k
)
{\displaystyle (a_{k})}
є монотонною послідовністю . Тоді у сумі у правій частині рівності
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
=
a
n
B
n
−
∑
k
=
1
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
B
k
{\displaystyle \sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}}
всі
a
k
+
1
−
a
k
{\displaystyle a_{k+1}-a_{k}}
мають один знак і тому із цієї формули випливає:
|
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
|
⩽
|
a
n
|
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
−
∑
k
=
1
n
−
1
|
a
k
+
1
−
a
k
|
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
=
(
|
a
1
|
+
2
|
a
n
|
)
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
.
{\displaystyle \left|\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant \left|a_{n}\right|\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|-\sum \limits _{k=1}^{n-1}\left|a_{k+1}-a_{k}\right|\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|=(|a_{1}|+2|a_{n}|)\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.}
Тобто остаточно:
|
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
|
⩽
(
|
a
1
|
+
2
|
a
n
|
)
⋅
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
.
{\displaystyle {\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leqslant (|a_{1}|+2|a_{n}|)\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.}
Якщо
(
a
k
)
{\displaystyle (a_{k})}
є спадною послідовністю додатних чисел , то простіше:
|
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
|
⩽
a
1
⋅
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
.
{\displaystyle {\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leqslant a_{1}\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.}
Див. також
ред.
Література
ред.
Примітки
ред.
↑ В.Тихомиров — Абель и его великая теорема .