Гаусдорфів простір

У топології і суміжних галузях математики гаусдорфів простір, відокремлений простір або $T_{2}$-простір — це топологічний простір, в якому для будь-яких двох різних точок існують околи, що не перетинаються. Серед багатьох аксіом відокремлюваності, що можуть бути накладені на топологічний простір, «аксіома Гаусдорфа» ($T_{2}$) використовується найчастіше і є найбільш обговорюваною. Вона зумовлює однозначність границь послідовностей, множин та фільтрів.

Гаусдорфів простір був названий на честь Фелікса Гаусдорфа, одного з основоположників топології. Оригінальне означення Гаусдорфа топологічного простору (у 1914 році) включало умову Гаусдорфа як аксіому. Іноді для позначення структури гаусдорфового топологічного простору на множині застосовується термін гаусдорфова топологія.

Означення

Точки $x$ та $y$, розділені їх відповідними околами $U$ і $V$.

У топологічному просторі $X$ точки $x$ і $y$ можуть бути розділені околами, якщо існує такий окіл $U$ для $x$ і такий окіл $V$ для $y$, що $U$ і $V$ неперетинні

($U\cap V=\varnothing$). $X$ вважається гаусдорфовим простором, якщо для двох довільних точок $x$ та $y$ існують околи $U(x)$ та $V(y)$, що не перетинаються. Ця умова є третьою аксіомою відокремлюваності (після $T_{0}$, $T_{1}$), саме тому гаусдорфів простір також називають $T_{2}$ простором або відокремленим простором.

Пов'язане, але більш слабке поняття, — це поняття пререгулярного простору. $X$ є пререгулярним простором, якщо будь-які дві точки, що мають різні околи, можуть бути розділені відокремлюванням їхніх околів. Пререгулярні простори також називають $R_{1}$ просторами.

Зв'язок між цими двома поняттями наступний. Топологічний простір є гасудорфовим тоді і тільки тоді, коли він є одночасно і пререгулярним простором (тобто, точки з різними околами відокремлені своїми околами) і $T_{0}$простором (тобто, точки з неперервними околами мають різні околи). Топологічний простір є пререгулярним тоді і тільки тоді, коли його фактор-простір Колмогорова є гаусдорфовим.

Еквівалентності

Для топологічного простору Х наступні твердження еквівалентні.

• $X$ є гаусдорфовим простором.
• Границі направленостей на $X$ визначаються однозначно.
• Границі фільтрів на $X$ визначаються однозначно.
• Будь-який синґлетон $\{x\}\subset X$ рівний перетину всіх замкнених околів $x$.(Замкненим околом $x$ вважається замкнена множина, яка містить відкриту множину, яка у свою чергу містить $x$).
• Множина $\Delta =\{(x,x)\ |\ x\in X\}$ замкнена як підмножина добутку топологічних просторів $X\times X$.

Є гаусдорфовими:

• всі метричні простори і метризовні простори, зокрема:
  • евклідові простори на $\mathbb {R} ^{n}$;
  • многовиди;
  • більшість нескінченомірних функціональних просторів, що вивчає аналіз, таких як $L^{p}$ або $W^{1,\;p}$, $p\geq 1$.
• топологічні групи (за визначенням).

Не є гаусдорфовими, наприклад:

• топологія Зариського на алгебраїчному многовиді;
• у загальному випадку, спектр кільця.

Простий (і важливий) приклад негаусдорфового простору — зв'язна двоточка, а в загальнішому випадку — алгебра Гейтінга.

Приклади і контрприклади

Майже всі простори, що розглядаються у математичному аналізі є гаусдорфовими. Більше того, простір дійсних чисел (заданий як метричний простір над полем дійсних чисел) є гаусдорфовим простором. Говорячи більш загально, всі метричні простори є гаусдорфовими. Зокрема, більшість просторів, що використовуються в математичному аналізі, такі як топологічні групи і топологічні многовиди, явно включають умову Гаусдорфа у своєму означенні.

Простий приклад топології, яка є простором $T_{1}$ і водночас не є гаусдорфовим простором — це скінченна топологія, що визначена на нескінченній множині.

Псевдометричні простори зазвичай не є гаусдорфовими, але вони пререгулярні і у більшості випадків їх використовують при побудові гаусдорфових каліброваних просторів. Зазвичай, коли спеціалісти натикаються на негаусдорфів простір, скоріше за все він буде хоча б пререгулярним, що дає змогу замінити його на фактор-простір Колмогорова цього простору, який у свою чергу є гаусдорфовим.

З іншого боку, непререгулярні простори найчастіше розглядаються у абстрактній алгебрі і алгебраїчній геометрії, зокрема як топології Зариського на алгебраїчному многовиді або на спектрі кільця. Вони також виникають у теорії моделей інтуїціоністської логіки: будь-яка повна алгебра Гейтінга є алгеброю відкритих множин якогось топологічного простору, але цей простір необов'язково має бути пререгулярним, тим більше гаусдорфовим. Схожа ідея теорії областей Скотта також складається з непререгулярних просторів.

Не дивлячись на те, що існування однозначних границь для збіжних послідовностей і фільтрів передбачає гаусдорфовість простору, існують негаусдорфові $T_{1}$ простори, в яких для кожної збіжної послідовності (направленності) існує однозначна границя.

Властивості

Підмножини і добутки гаусдорфових просторів є гаусдорфовими просторами, але фактор-простори гаусдорфових просторів можуть такими і не бути. Зокрема, будь-який топологічний простір може бути представлений у вигляді фактор-простору якого-небудь гаусдорфового простору.

Гаусдорфові простори є T₁ просторами. Це означає, що всі синґлетони є замкненими. Щодо пререгулярних просторів, то вони всі є R₀ просторами.

Інша цікава властивість гаусдорфових просторів полягає у тому, що всі компактні простори у ньому завжди є замкненими. На відміну від, наприклад, негаусдорфових просторів Серпінського, в яких такої властивості немає.

В означенні гаусдорфового простору зазначено те, що точки можуть бути розділені їхніми околами. Як виявляється, це породжує більш вагомий факт: у гаусдорфовому просторі будь-яка пара неперетинних компактних множин також може бути розділена своїми околами. Іншими словами, існує такий окіл у першої множини і такий окіл у другої множини, що їхні околи неперетинні. Це є прикладом загального правила, що компактні множини у багатьох випадках поводять себе подібно точкам.

Умови повноти разом з пререгулярністю зазвичай передбачають більш сильні аксіоми видокремлюваності. Наприклад, будь-який локально компактний пререгулярний простір є простором Тихонова. Компактні пререгулярні простори є нормальними просторами, що означає, що вони задовільняють лемі Урисона і теоремі Тітце, а також мають структуру розбиття одиниці, що підкоряється локально скінченним відкритим покриттям. Для гаусдорфових просторів мають місце такі аналоги цих тверджень: кожний локально компактний гаусдорфів простір є простором Тихонова і кожний компактний гаусдорфів простір є нормальним.

Нижче описані деякі технічні властивості гаусдорфових просторів щодо відображень (неперервних та інших) на гаусдорфових просторах.

Нехай $f\ \colon X\rightarrow Y$ — неперервна функція і нехай $Y$ є гаусдорфовим простором, тоді графік функції $f,\ \{(x,f(x))\mid x\in X\}$ є замкненою підмножиною простору $X\times Y$.

Нехай задана функція $f\ \colon X\rightarrow Y$, $\operatorname {ker} (f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}$, де $\operatorname {ker} (f)$ — її ядро, яке вважається підпростором в $X\times X$.

• Якщо $f$ — неперервна, а $Y$ є гаусдорфовим простором, тоді $\operatorname {ker} (f)$ є замкненою множиною.
• Якщо $f$ є відкритою сюр'єкцією, а $\operatorname {ker} (f)$ є замкненою множиною, то $Y$ є гаусдорфовим простором.
• Якщо $f$ є неперервною функцією і водночас відкритою сюр'єкцією (тобто, відкритим фактор-відображенням), то $Y$ є гаусдорфовим простором тоді і тільки тоді, коли $\operatorname {ker} (f)$ є замкненою множиною.

Якщо $f,g\ \colon X\rightarrow Y$ — неперервні відображення, а $Y$ є гаусдорфовим, тоді вирівнювач $\operatorname {eq} (f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}$ є замкненою множиною в $X$. Таким чином, якщо $Y$ є гаусдорфовим, а $f$ та $g$ узгоджені на щільній підмножині множини $X$, то $f=g$. Іншими словами, неперервні відображення у гаусдорфові простори визначаються їхніми значеннями на щільних підмножинах.

Нехай $f\ \colon X\rightarrow Y$ є замкненою сюр'єкцією, такою, що $f^{-1}(y)$ є компактним простором для всіх $y\in Y$. Тоді, якщо $X$ є гаусдорфовим простором, то $Y$ також є гаусдорфовим.

Нехай $f\ \colon X\rightarrow Y$ є фактор-відображенням, де $X$ є компактним гаусдорфовим простором. Тоді мають місце наступні твердження:

• $Y$ є гаусдорфовим;
• $f$ є замкненим відображенням;
• $\operatorname {ker} (f)$ є замкненою множиною.

Відмінність регулярності від пререгулярності

Всі регулярні простори є пререгулярними, так само, як і всі гаусдорфові простори. Існує багато результатів щодо топологічних просторів, що справедливі як для регулярних, так і для гаусдорфових просторів. Зазвичай ці ж результати також справедливі і для пререгулярних просторів; вони наводяться для регулярних і гаусдорфових просторів, оскільки ідея пререгулярних просторів виникла пізніше. З іншого ж боку, результати, що справедливі щодо регулярности, взагалі кажучи, не застосовуються для нерегулярних гаусдфорових просторів.

Існує багато прикладів, коли яка-небудь інша умова топологічних просторів (така як паракомпактність або локальна компактність) приводитиме до регулярності, якщо простір є пререгулярним. Такі умови часто виникають у двох версіях: регулярна версія і гаусдорфова версія. Не дивлячись на те, що гаусдорфові простори у загальному випадку не є регулярними, вони можуть бути регулярними за умови, наприклад, локальної компактності, так як будь-який гаусдорфів простір є пререгулярним. Отже, з певної точки зору, у таких випадках пререгулярність грає більш важливу роль, аніж регулярність. Все ж означення зазвичай формуються у термінах регулярності, оскільки ця умова більш відома, ніж пререгулярність.

Більше інформації можна знайти на сторінці історії аксіом відокремлюваності.

Різновиди

Терміни «гаусдорфовий», «розділений» і «пререгулярний» також застосовуються у таких варіантах топологічних просторів як рівномірний простір, простір Коші і простір збіжності. Характеристика, що об'єднує головну ідею у всіх цих прикладах просторів це те, що границя множин і фільтрів (якщо вони існують) є однозначною (для відокремлених просторів) або однозначною з точністю до топологічної нерозрізненості (для пререгулярних просторів).

Виявляється, що рівномірні простори, і більш загальні простори Коші, завжди пререгулярні, тому аксіома Гаусдорфа у цих випадках редукується до аксіоми $T_{0}$. Також у цих просторах поняття повноти має сенс і, як правило, супроводжується гаусдорфівістю. А саме, простір вважається повним тоді і тільки тоді, коли кожна множина Коші має щонайменше одну границю, а гаусдорфовим простір вважається тоді і тільки тоді, коли кожна множина Коші має щонайбільше одну границю (оскільки лише множини Коші можуть мати границі).

Алгебра функцій

Алгеброю неперервних (дійсних або комплексних) функцій на компактному гаусдорфовому просторі називається комутативна C*-алгебра і навпаки, за допомогою теореми Банаха — Стоуна можливо відтворити топологію простору з алгебраїчних властивостей її алгебри неперервних функцій. Це приводить нас до некомутативної геометрії, де можна розглянути некомутативні C*-алгебри як представлення алгебр функцій на некомутативному просторі.

Науковий гумор

• Аксіома Гаусдорфа також може бути ілюстрована за допомогою англійської гри слів, а саме, що будь-які дві точки можуть бути «housed off» одна від іншої відкритими множинами, що звучить як «Hausdorff».
• У Боннському університеті математики, в якому викладав і займався дослідженнями Фелікс Гаусдорф, існує кімната із назвою Hausdorff-Raum. Це гра слів, оскільки з німецької Raum має відразу два значення — «кімната» і «простір».

Див. також

• Квазі-топологічний простір
• Слабкий гаусдорфів простір
• Простір з нерухомою точкою, гаусдорфів простір $X$, у якому будь-яка неперервна функція $f\ \colon X\rightarrow Y$ має нерухому точку.
• Простір неперервних функцій

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)