Гамма-розподіл

Гамма-розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле, то розподіл показує суму k незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, кожна з яких набуває значення θ. Якщо параметр $k$ набуває цілого значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.

Щільність імовірності

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задається щільністю ймовірності, яка має вигляд

$f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.,$ де функція $\Gamma (k)$ має вигляд

$\Gamma (k)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx$
і має наступні властивості:

• $\Gamma (k)=(k-1)\cdot \Gamma (k-1)$;
• $\Gamma (0{,}5)={\sqrt {\pi }}$;

константи $k,\theta >0$. Тоді кажуть, що випадкова величина $X$ має гамма-розподіл з параметрами $k$ і $\theta$. Пишуть $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$.

Зауваження. Деколи використовують іншу параметризацію сімейства гамма-розподілів. Або вводять третій параметр — зсуву.

Моменти

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини $X$, яка має гамма-розподіл, мають вигляд

$\mathbb {E} [X]=k\theta$,

$\mathbb {D} [X]=k\theta ^{2}$.

Властивості гамма-розподілу

• Якщо $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — незалежні випадкові величини, такі що $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n$, то

$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right)$.

• Якщо $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$, і $a>0$ — довільна константа, то

$aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )$.

• Гамма-розподіл нескінченно ділимий.

Зв'язок з іншими розподілами

• Експоненціальний розподіл є окремим випадком гамма-розподілу:

$\Gamma (1,\theta )\equiv \mathrm {Exp} (1/\theta )$.

• Якщо $X_{1},\ldots ,X_{k}$ — незалежні експоненціальні випадкові величини, такі що $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\theta ),\;i=1,\ldots ,k$, то

$Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,\theta )$.

• Розподіл хі-квадрат є окремим випадком гамма-розподілу:

$\Gamma \left({\frac {n}{2}},2\right)\equiv \chi ^{2}(n)$.

Зокрема, якщо $n=1$, то $X\sim N(0,1)$ і

$X^{2}\sim \Gamma \left({\frac {1}{2}},2\right)$.

• Згідно з центральною граничною теоремою,

при великих $k$ гамма-розподіл може бути наближений нормальним розподілом:

$\Gamma (k,\theta )\approx \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})$ при

$k\to \infty$.

• Якщо $X_{1},X_{2}$ — незалежні випадкові величини такі, що

$X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2$, то

${\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim \mathrm {\mathrm {B} } (k_{1},k_{2})$.

Моделювання гамма-величин

Враховуючи властивість масштабування по параметру θ, що вказана вище, достатньо змоделювати гамма-величину для θ = 1. Перехід до інших значень параметра здійснюється простим множенням.

Використовуючи той факт, що розподіл $\Gamma (1,1)$ збігається з експоненціальним розподілом, отримуємо, що якщо U — випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1], то $\ln U\sim \Gamma (1,1)$.

Тепер, використовуючи властивість k-сумування, :

$\sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),$

де U_i — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].

Залишилось змоделювати гамма-величину для 0 < k < 1 і ще раз застосувати властивість k-сумування.

Нижче наведено алгоритм без доведення. Він є прикладом вибірки з відхиленням

1. Нехай m дорівнює 1.
2. Згенеруємо $V_{2m-1}$ и $V_{2m}$ — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
3. Якщо $V_{2m-1}\leq v_{0}$, де $v_{0}={\frac {e}{e+\delta }}$, перейти до кроку 4, інакше до кроку 5.
4. Покладемо $\xi _{m}=\left({\frac {V_{2m-1}}{v_{0}}}\right)^{\frac {1}{\delta }},\ \eta _{m}=V_{2m}\xi _{m}^{\delta -1}$. Перейти до кроку 6.
5. Покладемо $\xi _{m}=1-\ln {\frac {V_{2m-1}-v_{0}}{1-v_{0}}},\ \eta _{m}=V_{2m}e^{-\xi _{m}}$.
6. Якщо $\eta _{m}>\xi _{m}^{\delta -1}e^{-\xi _{m}}$, то залишити m

на одиницю и вернутися до кроку 2.

1. Прийняти $\xi =\xi _{m}$ за реалізацію $\Gamma (\delta ,1)$.

Таким чином :

$\theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),$

де [k] є цілою частиною k, а ξ згенерована по алгоритму, наведеному вище при δ = {k} (дробова частина k); U_i and V_l розподілені як вказано вище і попарно незалежні.

Гамма-розподіл втрат в страхуванні

Графік функції розподілу імовірностей при гамма-розподілі збитку

Графік щільносі розподілу імовірностей при гамма-розподілі збитку

Гамма-розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле тоді розподіл показує суму k незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, кожна з яких набуває значення θ. Якщо параметр k набуває цілого значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.

Випадкова величина Y має гамма-розподіл з параметрами λ > 0 і α > 0, якщо

$f_{Y}(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\lambda x},x\geq 0,$

$F_{Y}(x)={\frac {\lambda ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}{t^{\alpha -1}e^{-\lambda t}}\,dt.$

де Γ — гамма-функція,

$\Gamma =\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}\,dt.$

Середнє значення для випадкової величини, що має гамма-розподіл дорівнює

$EY={\frac {\alpha }{\lambda }},$

$VarY={\frac {\alpha }{\lambda }}^{2}.$

При x → ∞ щільність гамма-розподілу спадає швидше, ніж щільність розподілу Парето, але повільніше, ніж експоненціальна щільність. Це означає, що для однакового розміру збитку імовірність його виникнення при гамма-розподілі більше, ніж при експоненціальному розподілі, але менше, ніж при розподілі Парето. При α > 1 гамма-розподіл відповідає ситуації, коли позови в основному згруповані навколо деякого значення, а невеликі позови можливі, але малоімовірні.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)