Відношення порядку

Відно́шення поря́дку в математиці — бінарне відношення, яке є транзитивним та антисиметричним.

діаграма Хаса дільників числа 60,
частково впорядкована за подільністю

$\forall a,b,c:\;\;(aRb\land bRc\Rightarrow aRc)$ (транзитивність),

$\forall a,b:\;\;(aRb\land bRa\Rightarrow a=b)$ (антисиметричність).

Відношення порядку називається нестрогим, якщо воно рефлексивне

$\forall a:\;\;(aRa)$.

І навпаки, відношення строгого порядку є антирефлексивним

$\forall a:\;\;(\lnot aRa)$.

Відношення порядку називається повним (лінійним), якщо

$\forall a,b:\;\;(aRb\lor bRa)$ (повне відношення).

Повнота (лінійність) відношення порядку означає його рефлексивність, тому такий порядок завжди нестрогий.

Якщо умова повноти не виконується, і порядок є нестрогим, то відношення називають відношенням часткового порядку.

Зазвичай відношення строгого порядку (повного чи часткового) позначається знаком <, а відношення нестрогого порядку знаком $\leq$.

Див.також

• Відношення еквівалентності
• Передпорядок — множина з відношенням передпорядку
• Частково впорядкована множина — множина з відношенням часткового порядку
• Лінійно впорядкована множина
• Цілком впорядкована множина
• Лема Цорна

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)