Впорядковане поле

Впорядковане поле — алгебраїчне поле, для всіх елементів якого визначено лінійний порядок, узгоджений з операціями поля. Найважливішими прикладами є поля раціональних і дійсних чисел. Термін вперше запропонував Еміль Артін у 1927 році.

Визначення

Нехай $F$ — алгебраїчне поле, для його елементів визначено лінійний порядок $\leqslant$ (менше або дорівнює) і виконуються властивості:

1. Узгодженість із додаванням: якщо $x\leqslant y$, то для будь-якогоz: $~x+z\leqslant y+z$.
2. Узгодженість із множенням: якщо $~0\leqslant x$ і $~0\leqslant y$, то $0\leqslant xy$.

Тоді поле $F$ із визначеним порядком $\leqslant$ називається впорядкованим полем. Елементи поля більші від нуля називаються додатними, а менші нуля — від'ємними.

Конструктивна побудова порядку

Один із способів визначити в полі F лінійний порядок — виділити в ньому підмножину додатних чисел P, замкнуту щодо додавання і множення і для якої три підмножини $P$, нуль і $-P$ не перетинаються і разом утворюють розбиття всього поля.

Нехай таку множину P виділено. Позначимо $P_{0}=P\cup \{0\}$ (ця множина теж замкнута щодо додавання і множення) і визначимо лінійний порядок у F:

$x\leqslant y$, якщо $y-x\in P_{0}$

Всі наведені вище аксіоми порядку тоді виконані.

Деякі властивості

• Кожен елемент впорядкованого поля відноситься до однієї й лише однієї з трьох категорій: додатні елементи, від'ємні елементи, нуль. Якщо $x$ додатний, то $-x$ від'ємний, і навпаки.
• У будь-якому впорядкованому полі $1>0$ і квадрат будь-якого ненульового елемента є додатним.
• Однотипні нерівності можна додавати:

Якщо $x\leqslant y$ і $x'\leqslant y'$, то $~x+x'\leqslant y+y'$.

• Нерівності можна множити на додатні елементи:

Якщо $x\leqslant y$ і $c\geqslant 0$, то $~cx\leqslant cy$.

• Характеристика упорядкованого поля завжди дорівнює нулю. Тому скінченне поле не може бути впорядкованим.
• Поле допускає впорядкування тоді і тільки тоді, коли $-1$ не може бути представлена як сума квадратів елементів поля. Поля, що задовольняють цю властивість називаються формально дійсними полями. Зокрема ця властивість показує, що поле комплексних чисел не може бути впорядкованим.
• Найменшим впорядкованим полем є поле раціональних чисел, яке може бути впорядковано тільки одним способом. Тобто ізоморфне йому раціональне поле міститься як підполе в будь-якому іншому впорядкованому полі. Якщо у полі не існує елемента більшого, ніж всі елементи раціонального поля, поле називається архімедовим.

Підполя і розширення полів

• Підполе впорядкованого поля успадковує батьківський порядок і, отже, теж є впорядкованим полем.
• Розширення E впорядкованого поля k називається впорядкованим, якщо E — впорядковане поле, для якого k є впорядкованим підполем. Ця властивість має місце в тому і тільки в тому випадку, коли -1 не може бути подана в вигляді суми елементів виду $\lambda x^{2},\,$ де $\lambda \in k,\,x\in E,\,0\leqslant \lambda .$

Впорядковане поле називається дійсно замкнутим, якщо для нього не існує впорядкованих розширень, що не рівні самому полю. Порядок дійсно замкнутого поля завжди є єдиним. Еквівалентними є наступні властивості впорядкованого поля k:

1. поле k є дійсно замкнутим,
2. розширення k(i), де i² = -1 є алгебраїчно замкнутим
3. кожен додатний елемент з k є квадратом і кожен многочлен непарного степеня над k має корінь у k.

Кожне формально дійсне поле має дійсно замкнуте впорядковане алгебраїчне розширення.

Якщо k — впорядковане поле, то можна дати традиційне визначення фундаментальної послідовності. Сукупність фундаментальних послідовностей при належному ототожненні і визначенні операцій перетворюється на впорядковане розширення поля k. Якщо k — архімедове поле, то це розширення є ізоморфним полю дійсних чисел.

Приклади

• Раціональні числа
• Дійсні числа
• Дійсні алгебраїчні числа
• Поле дійсних раціональних функцій: $~{\frac {p(x)}{q(x)}}\,$, де $~p(x),q(x)$ — многочлен и, $~q(x)\neq 0$. Впорядкуємо його наступним чином.
  • Дійсні константи (як многочлени нульового порядку) впорядковані традиційним чином.
  • Нехай $p(x)=p_{0}x^{n}+\dots$, $q(x)=q_{0}x^{m}+\dots \,$ Будемо вважати, що дріб ${\frac {p(x)}{q(x)}}>0\,$, якщо ${\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0\,$.
  • З визначення випливає, що многочлен $p(x)=x$ є більшим, ніж будь-яка константа, тобто аксіома Архімеда для цього поля не виконується, поле є архімедовим.
• Гіпердійсні числа — ще один приклад неархімедового поля.

Див. також

• Аксіома Архімеда
• Впорядкована група

Джерела

• Бурбаки Н. Алгебра ч.2 Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М. : Наука, 1965. — С. 300. — (Елементи математики)(рос.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.