Вектор-функція

Вектор-функція — функція, значеннями якої є вектори у векторному просторі $\mathbb {V}$ двох, трьох або більше вимірів. Аргументами функції можуть бути:

• одна скалярна змінна — тоді значення вектор-функції визначають у $\mathbb {V}$ деяку криву;
• $m$ скалярних змінних — тоді значення вектор-функції утворюють у $\mathbb {V}$, загалом, $m$-вимірну поверхню;
• векторна змінна — в цьому випадку вектор-функцію зазвичай розглядають як векторне поле на $\mathbb {V}$.

Вектор-функція однією скалярною змінною

Для наочності далі обмежимося випадком тривимірного простору, хоча поширення на загальний випадок не становить труднощів. Вектор-функція однієї скалярної змінної $\mathbf {r} (t)$ відображає певний інтервал дійсних чисел $t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}$ у множину просторових векторів (інтервал може також бути нескінченним).

Вибравши координатні орти $\mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}}$, Ми можемо розкласти вектор-функцію на три координатні функції $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$:

$\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}}$

Розглянуті як радіус-вектори, значення вектор-функції утворюють у просторі деяку криву, для якої t є параметром.

Кажуть, що вектор-функція $\mathbf {r} (t)$ має границю $\mathbf {r_{0}}$ у точці $t=t_{0}$, якщо $\lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0$ (тут і далі $|\mathbf {v} |$ позначають модуль вектора $\mathbf {v}$). Границя вектор-функції має звичайні властивості:

• Границя суми вектор-функцій дорівнює сумі границь доданків (в припущенні, що вони існують).
• Границя скалярного добутку вектор-функцій дорівнює скалярному добутку границь множників.
• Границя векторного добутку вектор-функцій дорівнює векторному добутку границь множників.

Неперервність вектор-функції визначається традиційно.

Похідна вектор-функції за параметром

Визначимо похідну вектор-функції $\mathbf {r} (t)$ за параметром:

${\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}$.

Якщо похідна в точці $t$ існує, вектор-функція називається диференційовною в цій точці. Координатними функціями для похідної будуть $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$.

Властивості похідної вектор-функції (всюди передбачається, що похідні існують):

• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — похідна суми є сумою похідних
• ${\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}$ — тут f (t) — диференційовна скалярна функція.
• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — диференціювання скалярного добутку.
• ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — диференціювання векторного добутку.
• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)$ — диференціювання мішаного добутку.

Про застосування вектор-функцій однієї скалярної змінної в геометрії див. Диференціальна геометрія кривих.

Вектор-функція декількох скалярних змінних

Для наочності обмежимося випадком двох змінних у тривимірному просторі. Значення вектор-функції $\mathbf {r} (u,v)$ (їх годограф) утворюють, загалом, двовимірну поверхню, на якій аргументи $u,v$ можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні.

У координатах рівняння $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)$ має вид:

$x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)$

Аналогічно випадку однієї змінної, ми можемо визначити похідні вектор-функції, яких тепер буде дві: ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}$. Ділянка поверхні буде невиродженою (тобто в нашому випадку — двовимірною), якщо на ньому $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]$ не перетворюється тотожно на нуль.

Координатна сітка на сфері

Криві на цій поверхні зручно задавати у вигляді:

$u=u(t);\ v=v(t)$ ,

де $t$ — параметр кривої. Залежності $u(t),\ v(t)$ передбачаються диференційовними, причому в області, що розглядається, їх похідні не повинні одночасно перетворюватися на нуль. Особливу роль відіграють координатні лінії, що утворюють сітку координат на поверхні:

$u=t;\ v=const$ — перша координатна лінія.

$u=const;\ v=t$ — друга координатна лінія.

Якщо на поверхні немає особливих точок ($\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]$ ніде не перетворюється на нуль), то через кожну точку поверхні проходять рівно дві координатні лінії.

Докладніше про геометричні застосування вектор-функцій декількох скалярних змінних див. Теорія поверхонь.

Література

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. [Архівовано 14 листопада 2007 у Wayback Machine.] 9-е изд. М.: Наука, 1965.