Аналіз відповідності

Аналіз відповідності (АВ) - це багатовимірний статистичний метод. Це концептуально схоже на аналіз головних компонент, але застосовується для категоріальних, а не для неперервних даних. Подібним чином як в аналізі головних компонент, він забезпечує засіб відображення або підведення висновків в двовимірній графічній формі. Всі дані повинні бути невідємними і в тому є масштабі, щоб вони могли бути застосованими. Метод розглядає рядки і стовпці еквівалентно. Він традиційно застосовується для таблиць спряженості - АВ аналізує статистичну величину хі-квадрат, пов'язану з цією таблицею ортогональними факторами. Оскільки АВ є описовою технікою, він може бути застосованим до таблиць, які можуть відповідати, а можуть і не відповідати, величині $\chi ^{2}$ .

Деталі

Як і аналіз головних компонент, аналіз відповідності створює ортогональні складові та для кожного елемента в таблиці - набір множин (іноді так званий фактор оцінки). Аналіз відповідності виконаний для даних таблиці спряженості, C , розміру m×n , де m - кількість рядків і n - кількість стовпців.

Попередня обробка

З таблиці C обчислюємо набір ваги для стовпців та рядків (інколи називають масою), де маса рядка:

$w_{m}=(1C1)^{-1}C1$

А маса стовпчика:

$w_{n}=(1C1)^{-1}1C$

Далі, знаходиться таблиця S (яка називається стохастичною матрицею):

$S=(1C1)^{-1}C$.

Обчислення маси:

$M=S-w_{m}w_{n}^{*}$

Де $w_{n}^{*}$ позначає ермітово – спряжену матрицю для $w_{n}$ .

Ортогональні складові

Таблиці M потім аналізується із узагальненим одиничним розкладом, де лівий і правий одиничні вектори обмежені вагою. Ваги - діагональна таблиця:

$W_{m}=diag\{w_{m}\}$

та

$W_{n}=diag\{w_{n}\}$

Де діагональні елементи - це , а всі інші рівні нулю. M потім розкладають за допомогою узагальненого одиничного розкладу:

$M=U\Sigma V^{*}\,$

, де

$U^{*}W_{m}U=V^{*}W_{n}V=I.$

Фактор – оцінка

Фактор оцінки для ряду елементів таблиці C :

$F_{m}=W_{m}U\Sigma$

а для стовпця:

$F_{n}=W_{n}V\Sigma$.

Додатки та застосування

Кілька варіантів АВ доступні, в тому числі канонічний аналіз відповідності. Розширення аналізу відповідності до багатьох категоріальних змінних - називають багатовимірним аналізом відповідності. Адаптації аналізу відповідності до проблеми дискримінації за ознакою якісних змінних (тобто, еквівалент дискримінантного аналізу для якісних даних) називається дискримінантним аналізом відповідності або барицентричним дискримінантним аналізом. У суспільних науках, аналіз відповідності, і особливо його розширення до багатовимірного аналізу відповідностей, стало відомим за межами Франції шляхом його застосування французьким соціологом П'єра Бурдьє.