Алгебрична крива

Алгебричні криві — це найпростіші об'єкти евклідової геометрії, для визначення яких недостатньо лінійних рівнянь. Зокрема, в евклідовій геометрії плоска алгебрична крива визначається як множина нулів многочлена від двох змінних. Наприклад, одиничне коло — це алгебрична крива, оскільки вона задається рівнянням x² +y²-1 = 0.

Кубика Чирнгауза — алгебрична крива третього порядку.

За багатьма технічними причинами зручно також розглядати комплексні корені відповідного многочлена, а також узагальнити визначення на випадок довільного поля.

В алгебричній геометрії, плоска афінна алгебрична крива над полем k визначається як множина точок K², які є коренями многочлена від двох змінних з коефіцієнтами в k, де K — алгебричне замикання поля k. Точки цієї кривої, всі координати яких лежать в k, називаються k-точками. Наприклад, точка $(2,{\sqrt {-3}})$ належить розглянутому вище одиничному колу, однак не належить його дійсній частині. Многочлен x² +y² + 1 задає алгебричну криву, дійсна частина якої порожня.

Більш загально, можна розглядати алгебричні криві, що містяться не в площині, а в просторі з довільною розмірністю або в проєктивному просторі. Виявляється, що багато властивостей алгебричної кривої не залежить від вибору конкретного вкладення в деякий простір, і це призводить до загального визначення алгебричної кривої:

Алгебрична крива — це алгебричний многовид розмірності 1. Це визначення можна переформулювати так: алгебрична крива — це алгебричний многовид, всі підмноговиди якого складаються з однієї точки.

Приклади алгебричних кривих

Раціональні криві

Раціональна крива, також відома як унікурсальна крива, — це крива, біраціонально еквівалентна афінній прямій (або проєктивній прямій), іншими словами, крива, на якій можлива раціональна параметризація.

Більш конкретно, раціональна крива в n-вимірному просторі може бути параметризована (за винятком деякого числа ізольованих «особливих точок») за допомогою n раціональних функцій від єдиного параметра t.

x² + xy + y² = 1

Наприклад, розглянемо еліпс x² +xy+y² = 1 з раціональною точкою (-1, 0). Провівши через неї пряму y=t (x+ 1), підставивши вираз y через x в рівняння та розв'язавши відносно x, отримаємо рівняння

$x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}},$

$y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,$

які задають раціональну параметризацію еліпса. У такому вигляді подавані всі точки еліпса крім точки (-1, 0), можна зіставити їй t = ∞, тобто параметризувати еліпс проєктивною прямою.

Цю раціональну параметризацію можна розглядати як параметризацію «еліпса в проєктивному просторі», перейшовши до однорідних координат, тобто замінивши t на T/U, а x, y — на X/Z,Y/Z відповідно. Параметризація еліпса X² +XY+Y² =Z² проєктивної прямої прийме такий вигляд:

$X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.$

Еліптичні криві

Раціональні криві (над алгебричним замкненим полем) — це алгебричні криві роду 0 (див. нижче), у цій термінології еліптичні криві — це криві роду 1 з раціональною точкою. Основний приклад такої кривої — кубика без особливостей; такої кубики достатньо, щоб промоделювати будь-яку криву роду 1.

Еліптична крива несе на собі структуру абелевої групи. Сума трьох точок на кубиці дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці точки колінеарні.

Перетин двох конік є кривою четвертого порядку роду 1, а значить, еліптичною кривою, якщо вона містить хоча б одну раціональну точку. В іншому випадку перетин може бути раціональною кривою четвертого порядку з особливостями, або бути розкладеним на криві меншого порядку (кубика і пряма, дві коніки, коніку і дві прямі або чотири прямі).

Зв'язок з полями функцій

Вивчення алгебричних кривих може бути зведене до вивчення нескоротних кривих (тобто не розкладаються в об'єднання двох менших кривих). Кожній такій кривій можна зіставити поле раціональних функцій на ній; виявляється, що криві біраціонально еквівалентні тоді і лише тоді, коли їх поля функцій ізоморфні. Це означає, що категорія алгебричних кривих та раціональних відображень двоїста категорії одновимірних полів алгебричних функцій, тобто полів, які є алгебричними розширеннями поля $k(x)$.

Комплексні криві як дійсні поверхні

Комплексна алгебрична крива, вкладена в афінний або проєктивний простір, має топологічну розмірність 2, іншими словами, є поверхнею. Зокрема, комплексна алгебрична крива без особливостей є двовимірним орієнтованим многовидом.

Топологічний рід цієї поверхні збігається з родом алгебричної кривої (який можна обчислити алгебричними способами). Дуже коротко: якщо проєкція кривої без особливостей на площину є алгебричною кривою ступеня d зі звичайними особливостями (точки подвійного самоперетину, з різними дотичними прямими у кожної з компонент), то вихідна крива має рід (d-1) (d-2) /2-k, де k — число цих особливостей.

Вивчення компактних ріманових поверхонь складається фактично у вивченні комплексних алгебричних кривих без особливостей, розглянутих як поверхні з додатковою аналітичною структурою. Більш точно, такі категорії еквівалентні:

• Категорія проєктивних алгебричних кривих без особливостей (з раціональними відображеннями як морфізмом).
• Категорія компактних ріманових поверхонь та голоморфних функцій.

Класифікація особливостей

x³ − y² = 0

Особливі точки включають в себе кілька типів точок, в яких крива «перетинає сама себе», а також різні типи каспів. Наприклад, на малюнку зображена крива x³-y² = 0 з каспом на початку координат.

Особливі точки можна класифікувати за їхніми інваріантами. Наприклад, особливу точку з дельта-інваріантом δ можна інтуїтивно описати як точку, в якій зустрічаються одразу δ «самоперетинів». У разі точки P нескоротьної кривої δ можна обчислити як довжину модуля ${\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}/{\mathcal {O}}_{P}$, де ${\mathcal {O}}_{P}$ — локальне кільце в точці P та ${\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}$ — його ціле замикання. Обчислення дельта-інваріантів всіх особливих точок дозволяє обчислити рід кривої за формулою:

$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},$

Інші важливі інваріанти: кратність m особливості (максимальне ціле число, таке що всі похідні які задають криву многочлена, порядок яких не перевищує m, дорівнюють нулю) і число Мілнора.

Див. також

• Крива
• Еліптична крива
• Поверхня Рімана
• Теорема Безу (алгебрична геометрія)
• Алгебрична поверхня

Література

• Ж.-П. Серр. Алгебраические группы и поля классов. — М. : Мир, 1968. — С. 285.
• Джон Милнор. Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М. : Мир, 1971. — С. 121.
• Egbert Brieskorn, Horst Knörrer. Plane Algebraic Curves. — Birkhäuser, 1986.
• Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemann Surfaces. — Springer, 1980.
• W. Fulton. Algebraic Curves: an introduction to algebraic geometry.
• C.G. Gibson. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. — Cambridge University Press, 1998.