Аксіомна схема виділення

У теорії множин та області логіки, математики та інформатики, які її використовують, аксіомна схема виділення, аксіомна схема поділу, аксіомна схема підмножин або аксіомна схема обмеженого розуміння, є схемою з аксіоми Цермело-Френкеля. Аксіомна схема виділення також називається аксіомною схемою розуміння, хоча цей термін також використовується для необмеженого розуміння. По суті, вона говорить, що будь-який визначений підклас множини є множина.

Твердження

Покажемо на прикладі вираз, який включає для кожної формули φ на мові теорії множин з вільними змінними між x, w₁, ..., w_n, A. Таким чином, множина B не є вільною у φ. У формальній мові теорії множин, аксіома схеми така:

$\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \phi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])$

або в словах:

Для будь-якої множини A, існує множина В така, що для будь-якого набору х, х є членом B, тоді і тільки тоді, коли х є членом A та φ справедливо для х.

Зверніть увагу, що є одна аксіома для кожного такого предиката φ, таким чином, це аксіома схеми.

Щоб зрозуміти цю аксіомну схему, зауважимо, що множина B повинна бути підмножиною А. Таким чином, те, що аксіома схеми дійсно каже, це те, що, враховуючи множину А та предикат P, ми можемо знайти підмножину B множини А, які є самі членами А, що задовольняють P. За аксіомою об'ємності ця множина є унікальною. Зазвичай ми позначаємо цю множину використанням набору позначень як {C ∈ A : P(C)}. Тож головний зміст аксіоми:

Кожен підклас множини, яка визначається предикатом, є самою множиною.

Аксіома схеми виділення є характерною для системи аксіоматичної теорії множин, яка пов'язана зі звичайною теорією множин ZFC, але зазвичай не з'являється в радикально різних системах альтернативної теорії множин.

Література

• Paul Halmos, Наївна теорія множин. Princeton, NJ: D. Van Nostrand компанії, 1960. Друкується за Springer-Verlag, New York, 1974 ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. ' Теорія множин: The Third Millennium Edition, виправлене і доповнене. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Теорія множин: Введення в незалежності доказів. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.