Абсолютна збіжність

Абсолютна збіжність числових рядів

Визначення

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ називають абсолютно збіжним числовим рядом, якщо збіжним є ряд $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$.

Властивості

• із збіжності ряду $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ випливає збіжність ряду $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.
• При дослідженні абсолютної збіжності ряду використовують ознаки збіжності рядів з невід'ємними членами.
• Якщо ряд $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності числового ряду використовують тонші ознаки: ознака Лейбніца, ознака Абеля, ознака Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів першого роду

Визначення

Невласний інтеграл першого роду $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx$.

Властивості

• із збіжності інтеграла $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx$ випливає збіжність інтеграла $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла першого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла першого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів другого роду

Визначення

Хай $\ f(x)$ визначена і інтегрована на $[a;b-\varepsilon \ ]\quad \forall \varepsilon \ \in (0;b-a)$, необмежена в лівому околі точки $b$. Невласний інтеграл другого роду $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл $\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx$.

Властивості

• із збіжності інтеграла $\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx$ випливає збіжність інтеграла $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла другого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл $\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла другого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Див. також

• Умовна збіжність
• Безумовна збіжність
• Теорема Данжуа — Лузіна

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)

Посилання

• Абсолютна сумовність [Архівовано 27 вересня 2020 у Wayback Machine.] // ВУЕ
• Абсолютно збіжний ряд [Архівовано 25 вересня 2020 у Wayback Machine.] // ВУЕ