Інтегрування частинами — один із способів знаходження інтеграла .
Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція подана у виді добутку двох неперервних і гла́дких функцій (кожна з яких може бути як елементарною функцією , так і композицією), то справедливі формули:
для невизначеного інтеграла:
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}
∫
a
b
u
d
v
=
u
v
|
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}
Передбачається, що знаходження інтеграла
∫
v
d
u
{\displaystyle \int v\,du}
∫
u
d
v
{\displaystyle \int u\,dv\,}
Одержання формул
ред.
Для невизначеного інтеграла
ред.
Функції
u
{\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}}
v
{\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}}
d
(
u
v
)
=
d
u
v
+
u
d
v
{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}
Ці функції також неперервні, отже можна взяти інтеграл від обох частин рівності:
∫
d
(
u
v
)
=
∫
d
u
v
+
∫
u
d
v
{\displaystyle \int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv}
Операція інтегрування протилежна диференціюванню:
u
v
=
∫
d
u
v
+
∫
u
d
v
{\displaystyle u\,v=\int du\,v+\int u\,dv}
Після перестановок :
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}
Для визначеного
ред.
У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:
d
(
u
v
)
=
d
u
v
+
u
d
v
{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}
∫
a
b
d
(
u
v
)
=
∫
a
b
d
u
v
+
∫
a
b
u
d
v
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}du\,v+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}
∫
a
b
u
d
v
=
u
v
|
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}
Приклади
ред.
∫
x
cos
x
d
x
=
∫
x
d
(
sin
x
)
=
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
x
=
x
sin
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}
∫
e
x
x
d
x
=
∫
x
(
e
x
d
x
)
=
∫
x
d
e
x
=
x
e
x
−
∫
e
x
d
x
=
x
e
x
−
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,(e^{x}\,dx)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}
Іноді цей метод застосовується кілька разів:
∫
x
2
sin
x
d
x
=
∫
x
2
d
(
−
cos
x
)
=
−
x
2
cos
x
−
∫
−
2
x
cos
x
d
x
=
{\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}
=
−
x
2
cos
x
+
∫
2
x
d
(
sin
x
)
=
−
x
2
cos
x
+
2
x
sin
x
−
∫
2
sin
x
d
x
=
−
x
2
cos
x
+
2
x
sin
x
+
2
cos
x
+
C
{\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}
Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
∫
1
x
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}
∫
arctg
x
d
x
=
x
arctg
x
−
∫
x
1
+
x
2
d
x
=
x
arctg
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}
У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:
I
1
=
∫
e
α
x
sin
β
x
d
x
=
{\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}
=
∫
e
α
x
d
(
−
1
β
cos
β
x
)
=
−
1
β
e
α
x
cos
β
x
+
α
β
∫
e
α
x
cos
β
x
d
x
=
−
1
β
e
α
x
cos
β
x
+
α
β
I
2
{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}
I
2
=
∫
e
α
x
cos
β
x
d
x
=
{\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}
=
∫
e
α
x
d
(
1
β
sin
β
x
)
=
1
β
e
α
x
sin
β
x
−
α
β
∫
e
α
x
sin
β
x
d
x
=
1
β
e
α
x
sin
β
x
−
α
β
I
1
{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}
У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:
{
I
1
=
−
1
β
e
α
x
cos
β
x
+
α
β
I
2
I
2
=
1
β
e
α
x
sin
β
x
−
α
β
I
1
{\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}
Вирішивши отриману систему, одержуємо:
I
1
=
e
α
x
α
2
+
β
2
(
α
sin
β
x
−
β
cos
β
x
)
+
C
{\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}
I
2
=
e
α
x
α
2
+
β
2
(
α
cos
β
x
+
β
sin
β
x
)
+
C
{\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}
Див. також
ред.
