Інтеграл Бохнера

Інтеграл Бохнера — це інтеграл для функцій, які приймають значення на банаховому просторі. По суті він є аналогом інтеграла Лебега для векторозначних функцій.

Прості і сильно вимірні функції

Нехай маємо вимірний простір $(\mathbb {R} ,{\mathcal {R}},\mu )$, де $\mu$ — σ-скінченна міра.

Означення

Функцію $f:\mathbb {R} \to X$, де $X$ — банаховий простір, назвемо простою, якщо виконується наступне:

$f(t)=\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}{\mathcal {X}}_{E_{k}}(t)$,

де $(c_{k}\in X;k=1...n)$, а

$E_{i}$ — вимірні, мають скінченну міру і такі, що $E_{i}\cap E_{j}=\otimes$.

Означення

Функцію $f:\mathbb {R} \to X$ назвемо сильно вимірною, якщо існує послідовність простих функцій $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ така, що

$\lim _{n\rightarrow \infty }||f_{n}(t)-f(t)||=0\ (mod\mu )$

Означення

Означення

Інтеграл Бохнера від простої функції $f:\mathbb {R} \to X$ по простору $\mathbb {R}$ позначається символом $\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)d\mu (t)$ і визначається так:

$\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)d\mu (t)=\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}\mu (E_{k})$

Означення

Функція $f:\mathbb {R} \to X$ називається інтегровною за Бохнером по простору $\mathbb {R}$, якщо вона сильно вимірна і знайдеться послідовність простих функцій $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ така, що $\lim _{n\rightarrow \infty }||f_{n}(t)-f(t)||=0\ (mod\mu )$ та

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{\mathbb {R} }||f_{n}(t)-f(t)||=0.\$

Тоді існує границя

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{\mathbb {R} }f_{n}(t)d\mu (t)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)d\mu (t),\$

яка і називається інтегралом Бохнера від функції $f$ на $\mathbb {R}$

Див. також

• Інтеграл Лебега

Посилання

• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)