Інваріантний підпростір

У математиці інваріантним підпростором лінійного відображення $T\colon V\rightarrow V$(тобто з деякого векторного простору $V$ у себе) називається підпростір $W$ простору $V$, який зберігається при відображенні $T$; тобто $T(W)\subseteq W$.

Загальний опис

Розглянемо лінійне відображення $T$,

$T\colon \ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$

Інваріантний підпростір $W$ відображення $T$ має наступну властивість: всі вектори ${\boldsymbol {v}}\in W$ перетворюються при відображенні $T$ у вектори, які також належать підпростору $W$. Це можна записати як

${\boldsymbol {v}}\in W\ \Rightarrow \ T({\boldsymbol {v}})\in W.$

Тривіальні приклади інваріантних підпросторів

• $\mathbb {R} ^{n}$: оскільки $T$ відображає будь-який вектор з $\mathbb {R} ^{n}$ у вектор з $\mathbb {R} ^{n}$.
• $\{0\}$: оскільки при лінійному відображенні $0\longmapsto 0$.

Одновимірний інваріантний підпростір $U$

Базисом одновимірного простору є ненульовий вектор ${\boldsymbol {v}}$. Отже, будь-який вектор ${\boldsymbol {x}}\in U$ можна представити як $\lambda {\boldsymbol {v}}$, де $\lambda$ є скаляром. Представимо лінійне відображення $T$ як матрицю $A$ тоді, для того щоб простір $U$ був інваріантним підпростором, він має задовольняти умову

$\forall {\boldsymbol {x}}\in U\quad \exists \alpha \in \mathbb {R} \colon \ A{\boldsymbol {x}}=\alpha {\boldsymbol {v}}.$

Якщо ${\boldsymbol {x}}\in U$, то ${\boldsymbol {x}}=\beta {\boldsymbol {v}}$, $\beta \in \mathbb {R}$.

Отже, умову існування одновимірного інваріантного підпростору можна записати як

$A{\boldsymbol {v}}=\lambda {\boldsymbol {v}},$ де $\lambda$ — скаляр базового поля векторного простору.

Зауважимо, що це типове формулювання задачі на власні значення, яке означає, що будь-який власний вектор матриці $A$ утворює одновимірний інваріантний підпростір відображення $T$.

Формальний опис

Інваріантний підпростір лінійного відображення

$T\colon \ V\rightarrow V,$

з деякого векторного простору $V$ у себе, є підпростором $W$ простору $V$, такий що $T(W)$ належить $W$. Інваріантний підпростір відображення $T$ також називається $T$-інваріантним.

Якщо $W$ є $T$-інваріантним, то можна обмежити відображення $T$ на підпростір $W$, щоб отримати нове лінійне відображення

$T|_{W}\colon \ W\rightarrow W.$

Це лінійне відображення називається обмеженням відображення $T$ на підпростір $W$ і визначається як

$T|_{W}({\boldsymbol {x}})=T({\boldsymbol {x}})$ для всіх ${\boldsymbol {x}}\in W.$

Нижче наведемо декілька прикладів інваріантних підпросторів.

Очевидно, що сам простір $V$ і підпростір $\{0\}$ є тривіально інваріантними підпросторами для будь-якого лінійного оператора $T\colon V\rightarrow V$. Для деяких лінійних операторів не існує нетривіального інваріантного підпростору; наприклад, повороти двовимірного дійсного векторного простору.

Нехай ${\boldsymbol {v}}$ — власний вектор лінійного відображення $T$, тобто $T{\boldsymbol {v}}=\lambda {\boldsymbol {v}}$. Тоді підпростір $W=\operatorname {span} \{{\boldsymbol {v}}\}$ є $T$-інваріантним. Як наслідок основної теореми алгебри, будь-який лінійний оператор на ненульовому скінченновимірному комплексному векторному просторі має власний вектор. Отже, будь-який такий лінійний оператор має нетривіальний інваріантний підпростір. Тут використано той факт, що комплексні числа є алгебраїчно замкнутим полем. Порівнюючи з попереднім прикладом, можна побачити, що інваріантні підпростори лінійного перетворення залежать від базового поля простору $V$.

Інваріантний вектор (тобто нерухома точка відображення $T$), відмінний від 0, породжує інваріантний підпростір розмірності 1. Відображення $T$ діє на інваріантний підпростір розмірності 1 за допомогою скаляра і складається з інваріантних векторів тоді й лише тоді, коли цей скаляр дорівнює 1.

Як показують наведені вище приклади, інваріантні підпростори заданого лінійного перетворення $T$ проливають світло на структуру відображення $T$. Якщо простір $V$ є скінченновимірним векторним простором над алгебраїчно замкненим полем, то лінійні перетворення, що діють на просторі $V$, характеризуються (з точністю до подібності) жордановою нормальною формою, яка розкладає простір $V$ на інваріантні підпростори відображення $T$. Багато фундаментальних питань щодо відображення $T$ можна звести до питань про інваріантні підпростори відображення $T$.

Взагалі кажучи, інваріантні підпростори визначаються для множин операторів як підпростори, інваріантні для кожного оператора в множині. Нехай $L(V)$ — алгебра лінійних перетворень на просторі $V$, а $\operatorname {Lat} (T)$ — сімейство підпросторів, інваріантних відносно відображення $L\in L(V)$. (Використовується позначення «Lat», оскільки $\operatorname {Lat} (T)$ утворює ґратку (англ. lattice), див. обговорення нижче). Для заданої непорожньої множини $\Sigma \subset L(V)$ розглядаються інваріантні підпростори інваріантні відносно кожного відображення $T\in \Sigma$. У символьній формі

$\operatorname {Lat} (\Sigma )=\bigcap _{T\in \Sigma }\operatorname {Lat} (T).$

Наприклад, якщо $\Sigma =L(V)$, то $\operatorname {Lat} (\Sigma )=\{\{0\},V\}$.

Для заданого представлення групи $G$ на векторному просторі $V$ маємо лінійне відображення $T(g)\colon V\rightarrow V$ для будь-якого елемента $g$ групи $G$. Якщо підпростір $W$ простору $V$ є інваріантним відносно всіх цих відображень, то він є підпредставленням і група $G$ діє на підпростір $W$ природним чином.

Як інший приклад, нехай відображення $T\in L(V)$ і $\Sigma$ — це алгебра породжена $\{1,T\}$, де $1$ — тотожний оператор. Тоді $\operatorname {Lat} (T)=\operatorname {Lat} (\Sigma )$. Оскільки відображення $T$ належить $\Sigma$ тривіально, то $\operatorname {Lat} (\Sigma )\subset \operatorname {Lat} (T)$. З іншого боку, алгебра $\Sigma$ складається з поліномів від $1$ і $T$, і тому має місце і зворотне включення.

Матричне представлення

У скінченновимірному векторному просторі будь-яке лінійне перетворення $T\colon V\rightarrow V$ можна представити матрицею як тільки зафіксовано базис простору $V$.

Нехай $W$ — $T$-інваріантний підпростір. Виберемо базис $C=\{v_{1},\dots ,v_{k}\}$ підпростору $W$ і доповнимо його до базису $B$ простору $V$. Тоді відносно цього базису $B$ матричне представлення відображення $T$ набуває вигляду:

$T={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\0&T_{22}\end{bmatrix}},$

де верхній лівий блок $T_{11}$ є обмеженням відображення $T$ на підпростір $W$.

Іншими словами, для заданого інваріантного підпростору $W$ відображення $T$ простір $V$ можна розкласти у пряму суму:

$V=W\oplus W'.$

Розглядаючи лінійне перетворення $T$ як матричний оператор

$T={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}\colon \ {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}},$

очевидно, що блок $T_{21}\colon W\rightarrow W'$ має бути нульовим.

Визначення того, чи є даний підпростір $W$ інваріантним відносно відображення $T$, є нібито проблемою геометричного характеру. Матричне представлення дозволяє сформулювати цю проблему алгебраїчно. Оператор проєктування $P$ на підпростір $W$ визначається як $P(w+w')=w$, де $w\in W$ і $w'\in W'$. Оператор проєктування $P$ має матричне представлення

$P={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\colon \ {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}.$

Безпосереднє обчислення показує, що підпростір $W=\operatorname {ran} P$ (обмеження $P$) є інваріантним відносно відображення $T$ тоді й лише тоді, коли $PTP=TP$. Іншими словами, підпростір $W$ є елементом сімейства підпросторів $\operatorname {Lat} (T)$ еквівалентно, що відповідна проєкція задовольняє співвідношення $PTP=TP$.

Якщо $P$ є проєкцією (тобто $P^{2}=P$), то й $1-P$ також є проєкцією, де $1$ — тотожний оператор. Із вищесказаного випливає, що рівність $TP=PT$ справджується тоді й лише тоді, коли обидва підпростори $\operatorname {ran} P$ і $\operatorname {ran} (1-P)$ є інваріантними відносно відображення $T$. У цьому випадку відображення $T$ має матричне представлення

$T={\begin{bmatrix}T_{11}&0\\0&T_{22}\end{bmatrix}}\colon \ {\begin{matrix}\operatorname {Ran} P\\\oplus \\\operatorname {Ran} (1-P)\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {Ran} P\\\oplus \\\operatorname {Ran} (1-P)\end{matrix}}.$

Іншими словами, проєкція, яка комутує з відображенням $T$, «діагоналізує» відображення $T$.

Задача про інваріантний підпростір

Основна стаття: Задача про інваріантний підпростір

Задача про інваріантний підпростір стосується випадку, коли простір $V$ є сепарабельним гільбертовим простором розмірності $>$ 1 над полем комплексних чисел, а відображення $T$ є обмеженим оператором. Задача полягає в тому, щоб з'ясувати, чи будь-яке таке відображення $T$ має нетривіальний, замкнутий, інваріантний підпростір. Станом на 2021 рік ця задача залишається відкритою.

У більш загальному випадку, коли простір $V$ є банаховим простором, існує приклад оператора без інваріантного підпростору (Пер Енфло, 1976). Вперше такий приклад було отримано Чарльзом Рідом у 1985 році.

Ґратка інваріантного підпростору

Для заданої непорожньої множини $\Sigma \subset L(V)$ інваріантні підпростори, інваріантні відносно кожного елемента множини $\Sigma$, утворюють ґратку, яку іноді називають ґраткою інваріантного підпростору множини $\Sigma$ і позначають як $\operatorname {Lat} (\Sigma )$.

Операції ґратки задаються природним чином: для $\Sigma '\subset \Sigma$ операція перетину визначається як

$\bigwedge _{W\in \Sigma '}W=\bigcap _{W\in \Sigma '}W,$

тоді як операція об'єднання визначається як

$\bigvee _{W\in \Sigma '}W=\operatorname {span} \bigcup _{W\in \Sigma '}W.$

Мінімальний елемент ґратки $\operatorname {Lat} (\Sigma )$ називається мінімальним інваріантним підпростором.

Основна теорема некомутативної алгебри

Подібно до того, як основна теорема алгебри гарантує, що будь-яке лінійне перетворення, яке діє на скінченновимірному комплексному векторному просторі, має нетривіальний інваріантний підпростір, основна теорема некомутативної алгебри стверджує, що ґратка $\operatorname {Lat} (\Sigma )$ містить нетривіальні елементи для деякої множини $\Sigma$.

Теорема (Бернсайд). Нехай $V$ — комплексний векторний простір скінченної розмірності. Для кожної власної підалгебри $\Sigma$ алгебри $L(V)$ ґратка $\operatorname {Lat} (\Sigma )$ містить нетривіальний елемент.

Теорема Бернсайда має фундаментальне значення в лінійній алгебрі. Одним з її наслідків є те, що будь-яку комутуючу сім'ю в $L(V)$ можна одночасно звести до верхньотрикутного вигляду.

Непорожня множина $\Sigma \subset L(V)$ називається звідною до трикутного вигляду, якщо існує базис $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ простору $V$ такий, що

$\operatorname {span} \{e_{1},\dots ,e_{k}\}\in \operatorname {Lat} (\Sigma )\quad$ для всіх $\quad k\geq 1$.

Іншими словами, множина $\Sigma$ зводиться до трикутного вигляду, якщо існує такий базис в якому будь-який елемент множини $\Sigma$ має верхньотрикутне матричне представлення. З теореми Бернсайда випливає, що будь-яка комутативна підалгебра $\Sigma$ алгебри $L(V)$ зводиться до трикутного вигляду. Отже, будь-яку комутуючу сім'ю в $L(V)$ можна одночасно звести до верхньотрикутного вигляду.

Ліві ідеали

Якщо простір $A$ є алгеброю, то можна визначити ліве регулярне представлення $\Phi$ на $A$: $\Phi (a)b=ab$ — це гомоморфізм з алгебри $A$ у простір $L(A)$ (алгебра лінійних перетворень на алгебрі $A$).

Інваріантні підпростори представлення $\Phi$ є лівими ідеалами алгебри $A$. Лівий ідеал $M$ алгебри $A$ визначає підпредставлення алгебри $A$ на підпросторі $M$.

Якщо підпростір $M$ є лівим ідеалом алгебри $A$, то ліве регулярне представлення $\Phi$ на підпросторі $M$ тепер переходить у представлення $\Phi '$ на векторному фактор-просторі $A/M$. Якщо $[b]$ позначає клас еквівалентності в просторі $A/M$, то $\Phi '(a)[b]=[ab]$. Ядром представлення $\Phi '$ є множина $\{a\in A\,|\,ab\in M$ для всіх $b\}$.

Представлення $\Phi '$ є незвідним тоді й лише тоді, коли підпростір $M$ є максимальним лівим ідеалом, оскільки підпростір $V\subset A/M$ є інваріантним відносно $\{\Phi '(a)\,|\,a\in A\}$ тоді й лише тоді, коли його прообраз при фактор-відображенні, $V+M$, є лівим ідеалом в алгебрі $A$.

Майже інваріантні напівпростіри

З інваріантними підпросторами пов'язані так звані майже інваріантні напівпростори. Замкнений підпростір $Y$ банахового простору $X$ називається майже інваріантним відносно оператора $T\in {\mathcal {B}}(X)$, якщо $TY\subseteq Y+E$ для деякого скінченновимірного підпростору $E$; еквівалентно, підпростір $Y$ є майже інваріантним відносно оператора $T$, якщо існує оператор скінченного рангу $F\in {\mathcal {B}}(X)$ такий, що $(T+F)Y\subseteq Y$, тобто, якщо підпростір $Y$ інваріантний (у звичайному розумінні) відносно оператора $T+F$. У цьому випадку мінімально можлива розмірність підпростору $E$ (або ранг оператора $F$) називається дефектом.

Зрозуміло, що будь-який скінченновимірний і скінченноковимірний підпростір є майже інваріантним відносно будь-якого оператора. Тому, щоб зробити речі нетривіальними, прийнято говорити, що підпростір $Y$ є напівпростором, якщо це замкнений підпростір нескінченної розмірності та нескінченної корозмірності.

Задача майже інваріантного напівпростору полягає в тому, щоб визначити чи будь-який оператор припускає існування майже інваріантного напівпростору. У випадку комплексного поля задача вже розв'язана; тобто, якщо простір $X$ є комплексним нескінченновимірним банаховим простором і оператор $T\in {\mathcal {B}}(X)$, тоді оператор $T$ допускає майже інваріантний напівпростір з дефектом щонайбільше 1. Наразі невідомо, чи справедливо те саме, якщо простір $X$ є дійсним банаховим простором. Проте встановлено деякі частинні результати: наприклад, будь-який самоспряжений оператор у нескінченновимірному дійсному гільбертовому просторі допускає майже інваріантний напівпростір, як і будь-який строго сингулярний (або компактний) оператор, що діє на дійсний нескінченновимірний рефлексивний простір.

Див. також

• Інваріантність
• Інваріантний многовид

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). An Invitation to Operator Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2146-6.
• Beauzamy, Bernard (1988). Introduction to Operator Theory and Invariant Subspaces. North Holland.
• Enflo, Per; Lomonosov, Victor (2001). „Some aspects of the invariant subspace problem“. Handbook of the geometry of Banach spaces. Vol.I. Amsterdam: North-Holland. pp. 533–559.
• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2006). Invariant Subspaces of Matrices with Applications. Classics in Applied Mathematics. Vol.51 (Reprint, with list of errata and new preface, of the 1986 Wiley ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). pp. xxii+692. ISBN 978-0-89871-608-5.
• Lyubich, Yurii I. (1988). Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups (Translated from the 1985 Russian-language ed.). Kharkov, Ukraine: Birkhäuser Verlag.
• Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003). Invariant Subspaces (Update of 1973 Springer-Verlag ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-42822-2.