Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

7 байтів вилучено ,  7 років тому
м
→‎Відображення в одиничну гіперсферу <math>\mathbb{S}^n</math>: replaced: більш загальному → загальнішому
м (робот додав: ca:Varietat topològica)
м (→‎Відображення в одиничну гіперсферу <math>\mathbb{S}^n</math>: replaced: більш загальному → загальнішому)
Для кожної точки гіперповерхні <math> \mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, \dots u^n) </math> маємо одиничний вектор нормалі <math> \mathbf{n} = \mathbf{n}(u^1, u^2, \dots u^n) </math> (формула 3), який ми відкладемо від початку декартової системи координат в евклідовому <math>(n + 1)</math>-вимірному просторі. Кінець цього вектора (точка) лежить на гіперсфері одиничного радіуса. Задамось питанням, яким може бути на цій гіперсфері образ всієї нашої гіперповерхні.
 
Якщо наша гіперповерхня плоска, то її образом буде лише одна точка на гіперсфері. Образом циліндра або конуса буде лінія на гіперсфері (коло - для кругового циліндра чи конуса). В більш загальномузагальнішому випадку це буде деяка область на гіперсфері, яка може зокрема покривати і всю гіперсферу, навіть і неоднократно. Отже для замкнутого многовида ми маємо деяку цілочислену характеристику - скільки разів його образ покриває одиничну гіперсферу. Очевидно, що при малих деформаціях многовида ця характеристика не змінюється і є топологічним інваріантом гіперповерхні. Поставимо за мету вивести інтегральну формулу для обчислення цього інваріанта.
 
Для цього нам потрібна формула для перетворення об'ємів при відображенні в одиничну гіперсферу <math>\mathbb{S}^n</math>.
238 646

редагувань