Алгебраїчні числа: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м r2.7.1) (робот додав: oc:Nombre algebric |
м Бот: Автоматизована заміна тексту: (-заміна англійських одиниць вимірювання +на українські відповідники та десяткових крапок на коми., ... |
||
Рядок 9:
== Приклади ==
* Всі [[раціональні числа]] є алгебраїчними: число <math>\left (\frac{a}{b} \right)</math> є, наприклад, коренем рівняння ''b x'' - ''a'' = 0.
* [[Уявна одиниця]], число <math>i = \sqrt {-1}</math> є алгебраїчним, як корінь рівняння ''x<sup>2</sup>'' + 1 = 0.
* Числа [[e (число)|e]], [[число пі|π]], e<sup>π</sup> є трансцендентними. Статус числа π<sup>e</sup> невідомий.
Рядок 21:
:<math>0 = \cos (90 \cdot 1^\circ) = g_{90} (\cos 1^\circ),</math> тобто <math>\cos (1^\circ)</math> є коренем многочлена <math>g_{90}(x),</math> що й доводить твердження.
:Для <math>~ \sin (1^\circ)</math> достатньо зазначити, що всі степені ''x'' в <math>g_{90}(x)</math> є парними і
== Мінімальний многочлен ==
Рядок 39:
== Поле алгебраїчних чисел ==
Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють [[поле (алгебра)|поле]], тобто якщо α і β — алгебраїчні числа то їх обернені елементи -α і α<sup>
=== Доведення ===
* Спершу доведемо алгебраїчність -α. Якщо ''f(x)'' — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого α є коренем, то -α буде коренем многочлена ''f(−x)''. Тобто -α — алгебраїчне число.
* Якщо α — корінь многочлена <math>f(x) = \sum_{k=1}^n a_k x^k \in \Z[x],</math> то α<sup>-1</sup> є коренем многочлена <math>g(x) = \sum_{k=1}^n a_{n-k} x^k \in \Z[x],</math> отже α<sup>-1</sup> теж є алгебраїчним числом.
* Доведемо тепер алгебраїчність α + β. Припустимо α є коренем многочлена <math>f(x) \in \Z[x]</math> і β є коренем многочлена <math>g(x) \in \Z[x]</math>. Нехай α<sub>1</sub>= α, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>n</sub> — всі корені ''f(x)'' (враховуючи їх кратність, так що степінь ''f(x)'' рівний ''n'') і нехай β<sub>1</sub>= β, β<sub>2</sub>, ..., β<sub>m</sub> — всі корені ''g(x)''. Розглянемо многочлен:
:<math>F(x) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x - (\alpha_i + \beta_j)).</math>
:Множина <math>R = \Z[\beta_1, \ldots, \beta_m]</math> є комутативним [[кільце (алгебра)|кільцем]]. З [[теорема Вієта|теореми Вієта]] випливає, що коефіцієнти ''F(x)'' є [[симетричний многочлен|симетричними многочленами]] від чисел α<sub>1</sub>= α, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>n</sub>. Тому якщо, σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>n</sub> — [[симетричний многочлен|елементарні симетричні многочлени]] від α<sub>1</sub>= α, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>n</sub> і ''A'' — деякий коефіцієнт (при ''x<sup>k</sup>'') многочлена ''F(x)'', тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що A = B(σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>n</sub>, β<sub>1</sub>, β<sub>2</sub>, ..., β<sub>m</sub>) для деякого многочлена ''B'' з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти ''F(x)'' також є симетричними многочленами від чисел β<sub>1</sub>, β<sub>2</sub>, ..., β<sub>m</sub>. Нехай <math>R = \Z[\sigma_1, \ldots, \sigma_n]</math> і σ<sub>1</sub>', σ<sub>2</sub>', ..., σ<sub>m</sub>' — елементарні симетричні многочлени від β<sub>1</sub>= β, β<sub>2</sub>, ..., β<sub>m</sub> тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени A = B'(σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>n</sub>, σ<sub>1</sub>', σ<sub>2</sub>', ..., σ<sub>m</sub>') для деякого многочлена ''B''' з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>n</sub>, σ<sub>1</sub>', σ<sub>2</sub>', ..., σ<sub>m</sub>' є [[раціональні числа|раціональними]] і тому раціональним є також коефіцієнт A. Тому <math>F(x) \in \Q[x]</math> і оскільки α + β є коренем ''F(x)'' це число є алгебраїчним.
* Алгебраїчність числа αβ доводиться аналогічно до випадку α + β, розглядаючи многочлен:
:<math>F(x) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x - (\alpha_i \beta_j)).</math>
Рядок 63:
* <math>\alpha</math> і <math>\beta</math> спряжені тоді і тільки тоді, коли існує [[автоморфізм]] поля <math>\mathbb{A}</math>, що переводить <math>\alpha</math> у <math>\beta</math>.
* В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
** [[Теорема Ліувілля про наближення алгебраїчних чисел|Теорема Ліувіля]]: якщо <math>\alpha \in \Q</math> є коренем многочлена <math>f(x) \in \Z[x]</math> степінь якого рівний ''n'', тоді існує число ''A'' залежне від α, що
::<math>\left| \alpha - \left (\frac{a}{b} \right)\right | > \left (\frac{A}{b^n} \right),</math> для довільного раціонального числа <math>\left (\frac{a}{b} \right).</math>
** [[Теорема Туе — Зігеля — Рота]]: якщо <math>\alpha \in \Q</math> є алгебраїчним числом, тоді для довільного ε > 0 існує лише скінченна кількість пар цілих чисел ''(a, b)'' де ''b > 0'' для яких:
::<math>\left| \alpha - \left (\frac{a}{b} \right)\right | < \left (\frac{1}{b^{(2 + \varepsilon)}} \right).</math>
== Див. також ==
* [[Ціле алгебраїчне число]]
* [[Алгебраїчне розширення]]
== Посилання ==
* ''Нестеренко Ю.В.'' [http://mech.math.msu.su/department/number/new/persons/nesterenko/lectures.html Лекции об алгебраических числах] // Конспект курсу лекцій.
* M. Filaseta [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/TheMath784Notes.pdf Algebraic number theory. Instructors notes]
== Література ==
| |||