Відмінності між версіями «Інтеграли Френеля»

нема опису редагування
м (r2.7.1) (робот додав: ru:Интегралы Френеля)
{{пишу}}
'''Інтеграли Френеля''' ''S''(''x'') і ''C''(''x'') — це [[спеціальні функції]], названі на честь [[Огюстен Жан Френель| Огюстена Жана Френеля]], використовуються в [[Оптика | оптиці]]. Вони виникають при розрахунку [[Дифракція Френеля | дифракції Френеля]]. Визначаються як:
 
: <math>C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.</math>
 
Деякі автори використовують в якості аргументу тригонометричних підінтегральных функцій <math>\frac{\pi}{2}t^2</math>. Отримані функції отримуються із означених вище, шляхом стискання графіка по осі ''Y'' у <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}</math> разів і розтягненням уздовж осі ''X'' у стільки ж разів.
<!-- Некоторые авторы<ref>Уравнения 7.3.1 — 7.3.2</ref> используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций <math>\frac{\pi}{2}t^2</math>. Полученные функции получаются из определённых выше сжатием графика по оси ''Y'' в <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}</math> раз и растяжением вдоль оси ''X'' во столько же раз.
 
== Спіраль Корню ==
[[Файл:Cornu Spiral.svg|250px|thumb|
СпиральСпиіаль Корню (''x'',''y'')=(''C''(''t''), ''S''(''t'')). СпиральСпіраль стремитсяпрямує кдо центрамцентрів отверстийотворів приза <math>t \rightarrow +\infty</math>.]]
{{основна стаття|Клотоїда}}
{{основная статья|Клотоида}}
'''СпиральСпіраль Корню''', такжетакож известнаявідома какяк '''клотоидаклотоїда''', &nbsp;этоце криваякрива, являющаясящо є параметрическимпараметричним графикомграфіком ''S''(''t'') отвід ''C''(''t''). СпиральСпіраль Корню былабула придумана [[МариМарі Альфред Корню|МариМарі Альфредом Корню]] для облегченияполегшення расчётарозрахунку дифракциидифракції ву прикладныхприкладних задачах.
 
Оскільки,
Так как
 
: <math>C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1, </math>
 
то у такій параметризації [[дотичний вектор]] має одиничну довжину, тому ''t'' являеться довгою кривою, що вимірюється від точки (0,0). Звідси, дві гілки спіралі мають нескінченну довжину.
то в такой параметризации [[касательный вектор]] имеет единичную длину, так что ''t'' является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.
 
[[Кривизна кривої | Кривизна]] цієї кривої у будь-якій точці пропорційна довжині дуги, що розміщується між цією точкою та початком координат. Завдяки цій властивості вона застосовується в будівництві доріг, оскільки кутове прискорення машини, що рухається по цій кривій з постійною швидкістю, буде залишатися сталим.
[[Кривизна кривой|Кривизна]] этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным
 
== СвойстваВластивості ==
 
* ''C''(''x'') и ''S''(''x'') &nbsp;нечётныенепарні функциифункції ''x''.
 
* ИспользуяВикористовуючи разложениерозкладання в ряд, можноможна построитьпобудувати [[аналитическоеаналітичне продолжениепродовження]] интеграловінтегралів Френеля на всю комплекснуюкомплексну плоскостьплощину. КомплексныеКомплексні интегралыінтеграли Френеля выражаютсявиражаються через [[ФункцияФункція помилок ошибок|функцию ошибокфункцію помилок]] какяк
 
:: <math>S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>
:: <math>C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>.
 
* ИнтегралыІнтегралы Френеля не выражаютсявиражаються через [[элементарныеелементарні функциифункції]], кромеокрім частныхчасткових случаеввипадків. [[ПределГраниця (математика)|ПределГраниця]] этихцих функцийфункцій при <math>x \rightarrow \infty</math> равендорівнює
 
:: <math>\int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.</math>
 
=== ВычислениеОбчислення ===
[[Файл:Fresnel Integral Contour.svg|right|250px|thumb|Контур, используемыйщо використовується для вычисленияобчислення предельногограничного значениязначення интеграловінтегралів Френеля.]]
ПределыГраниці функцийфункцій ''C'' и ''S'' приза <math>x \rightarrow \infty</math> могутможуть бытьбути найденызнайдені сза помощьюдопомогою контурногоінтегрування интегрированияпо контуру. Для этогоцього берётсяобраховується контурныйконтурний интегралінтеграл функциифункції
 
: <math>e^{-\frac{1}{2}t^2}</math>
 
по границеграниці секторасектору на комплексной плоскости, образованногощо осьюутворений абсциссвіссю абсцис, лучомпроменем <math>y=x</math>, <math>x \geqslant 0</math> иі окружностьюколом радиусаз радіусом ''R'' сз центром вна началепочатку координат.
 
При <math>R \rightarrow \infty</math> интегралінтеграл по дугедузі стремитсяпрямує кдо 0, интегралінтеграл по вещественнойдійсній осиосі стремитсяпрямує кдо значениюзначення [[Интегралінтеграл ПуассонаПуасона|интегралаінтегралу ПуассонаПуасона]]
 
: <math> \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt =
\sqrt{\frac {\pi}{2}}, </math>
 
і, після деяких перетворень, інтеграл уздовж променя, що залишився, може бути виражений через граничне значення інтегралу Френеля.
и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля. -->
 
== Дивіться також ==
* [[Дифракція Френеля]]
 
== Примітки ==
* ''Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.'' Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. &nbsp;— New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm (См. часть 7)]'' {{ref-en}}
{{Примітки}}
 
 
[[Категорія:Оптика]]
[[Категорія:СпіціальніСпеціальні функції]]
 
[[de:Fresnel-Integral]]