Відмінності між версіями «Інтеграли Френеля»

нема опису редагування
{{пишу}}
'''Інтеграли Френеля''' ''S''(''x'') і ''C''(''x'') — це [[спеціальні функції]], названі на честь [[Огюстен Жан Френель| Огюстена Жана Френеля]], використовуються в [[Оптика | оптиці]]. Вони виникають при розрахунку [[Дифракція Френеля | дифракції Френеля]]. Визначаються як:
 
: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.</math>
 
Параметричний графік ''S''(''x'') і ''C''(''x'') дає криву на площині, що називається '''спіраль Корню''' або '''[[Клотоїда|клотоїда]]'''.
 
== Розкладання у ряд ==
[[Файл:Fresnel Integrals (Normalised).svg|250px|thumb|
Нормализовані інтеграли Френеля, <font color=#b30000>''S''(''x'')</font> и <font color=#00b300>''C''(''x'')</font>. На цих кривих аргумент підінтегральних тригонометричних функцій дорівнює <math>\pi t^2 /2</math>, а не <math>t^2</math>, як на рисунку вище.]]
 
Інтеграли Френеля можуть бути представлені [[Ряд Тейлора|степеневими рядами]], що сходяться для всіх ''x'':
 
: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},</math>
: <math>C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.</math>
 
<!-- Некоторые авторы<ref>Уравнения 7.3.1 — 7.3.2</ref> используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций <math>\frac{\pi}{2}t^2</math>. Полученные функции получаются из определённых выше сжатием графика по оси ''Y'' в <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}</math> раз и растяжением вдоль оси ''X'' во столько же раз.
 
== Спіраль Корню ==
[[Файл:Cornu Spiral.svg|250px|thumb|
Спираль Корню (''x'',''y'')=(''C''(''t''), ''S''(''t'')). Спираль стремится к центрам отверстий при <math>t \rightarrow +\infty</math>.]]
{{основная статья|Клотоида}}
'''Спираль Корню''', также известная как '''клотоида''', — это кривая, являющаяся параметрическим графиком ''S''(''t'') от ''C''(''t''). Спираль Корню была придумана [[Мари Альфред Корню|Мари Альфредом Корню]] для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.
 
Так как
 
: <math>C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1, </math>
 
то в такой параметризации [[касательный вектор]] имеет единичную длину, так что ''t'' является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.
 
[[Кривизна кривой|Кривизна]] этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным
 
== Свойства ==
 
* ''C''(''x'') и ''S''(''x'') — нечётные функции ''x''.
 
* Используя разложение в ряд, можно построить [[аналитическое продолжение]] интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через [[Функция ошибок|функцию ошибок]] как
 
:: <math>S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>
:: <math>C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>.
 
* Интегралы Френеля не выражаются через [[элементарные функции]], кроме частных случаев. [[Предел (математика)|Предел]] этих функций при <math>x \rightarrow \infty</math> равен
 
:: <math>\int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.</math>
 
=== Вычисление ===
[[Файл:Fresnel Integral Contour.svg|right|250px|thumb|Контур, используемый для вычисления предельного значения интегралов Френеля.]]
Пределы функций ''C'' и ''S'' при <math>x \rightarrow \infty</math> могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции
 
: <math>e^{-\frac{1}{2}t^2}</math>
 
по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом <math>y=x</math>, <math>x \geqslant 0</math> и окружностью радиуса ''R'' с центром в начале координат.
 
При <math>R \rightarrow \infty</math> интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению [[Интеграл Пуассона|интеграла Пуассона]]
 
: <math> \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt =
\sqrt{\frac {\pi}{2}}, </math>
 
и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля. -->
== Дивіться також ==
* [[Дифракція Френеля]]
* [[Функція Доусона]]
* [[Узагальнені інтеграли Френеля]]
 
== Примітки ==
* ''Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.'' Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm (См. часть 7)]'' {{ref-en}}
{{Примітки}}
 
== Посилання ==
* {{MathWorld|title=Fresnel Integrals|urlname=FresnelIntegrals}} {{ref-en}}
* {{MathWorld|title=Cornu Spiral|urlname=CornuSpiral}} {{ref-en}}
* R. Nave, [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/cornu.html#c1 The Cornu spiral], ''Hyperphysics'' (2002) ''(Використовуює πt²/2 замість t².)'' {{ref-en}}
* {{cite web
| url = http://fy.chalmers.se/LISEBERG/eng/loop_pe.html
| title = Roller Coaster Loop Shapes
| accessdate = 2008-08-13
| deadlink = 404
}} {{ref-en}}
 
[[Категорія:Фізична оптика]]
[[Категорія:Спіціальні функції]]
 
[[de:Fresnel-Integral]]
[[en:Fresnel integral]]
[[fi:Fresnelin integraalit]]
[[fr:Intégrale de Fresnel]]
[[it:Integrale di Fresnel]]
[[ja:フレネル積分]]
[[nl:Fresnelintegraal]]
[[pl:Całka Fresnela]]
[[tr:Fresnel İntegrali]]
[[zh:菲涅耳積分]]