|
'''Алгебраї́чніАлгебр́ичні рівня́ння''' — [[рівняння]] виду
:P(x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>)=0,
де Р — [[многочлен]] від змінних x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>. Ці змінні називають невідомими.
Впорядкований набір чисел a<sub>1</sub>, ..., a<sub>n</sub> задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні x<sub>1</sub> на a<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> на a<sub>2</sub> і так далі отримується правильна числова рівність (наприклад, впорядкована трійка чисел (3, 4, 5) задовольняє рівнянню х<sup>2</sup> + у<sup>2</sup> = z<sup>2</sup>, оскільки 3<sup>2</sup> +4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>). Число, що задовольняє алгебраїчнеалгебричне рівняння з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв’язків цього рівняння. Два алгебраїчніалгебричні рівняння, що мають одну й ту ж множину розв’язків, називаються рівносильними.
Степенем многочлена Р називається степінь [[рівняння]] Р(х<sub>1</sub>, … , х<sub>n</sub>) = 0. Наприклад, 3х — 5у + z = с — рівняння першого степеня, х<sup>2</sup> + у<sup>2</sup> = z<sup>2</sup> — другого степеня, а х<sup>4</sup> — Зх<sup>3</sup> + 1 = 0 — четвертого степеня. Рівняння першого степеня називають також [[Лінійне рівняння|лінійними]].
Рівняння вищого степеня називають [[Нелінійні алгебраїчніалгебричні рівняння|нелінійними]].
АлгебраїчнеАлгебричне [[рівняння]] з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв’язків алгебраїчногоалгебричного рівняння з великою кількістю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебраїчніалгебричні рівняння з n невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність всіх таких наборів утворює множину розв’язків системи. Наприклад, множина розв’язків системи рівнянь
:<math> \left \{ \begin{matrix} x^2 + y^2 = 10 & \\ x^2 - y^2 = 8 & \end{matrix} \right. </math>
== Розв'язки ==
АлгебраїчніАлгебричні рівняння з одним невідомим степеня <math>n</math> завжди можна записати у вигляді <math>a_0x^n+a_0x^{n-1}+\dots + a_n = 0</math>. Формули для розв'язання алгебраїчнихалгебричних рівнянь 1-го ступеня <math>ax + b = 0</math> і 2-го ступеня <math>ax^2 + bx + c = 0</math> (''[[квадратне рівняння]]'') даються в [[елементарна алгебра|елементарній алгебрі]].
Відомі формули для розв'язання алгебраїчнихалгебричних рівнянь 3-го ступеня (''[[кубічне рівняння]]'') і 4-го ступеня. Для алгебраїчнихалгебричних рівнянь 5-го і вищих ступенів не існує загальної формули, яка б виражала корені через коефіціенти рівняння за допомогою скінченного числа арифметичних операцій і добування коренів (довів [[Абель Нільс Генрік|Н. Абель]], поч. [[19 століття|XIX століття]]).<ref>{{УРЕ}}, том 1, ''АлгебраїчніАлгебричні рівняння''</ref>
== Історія ==
АлгебраїчніАлгебричні рівняння 1-го степеня з одним невідомим розв'язували вже в давньому [[Єгипет|Єгипті]] і давньому [[Вавилон]]і. Вавилонські переписувачі вміли розв'язувати і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь і рівнянь 2-го степеня. За допомогою особливих таблиць вони розв'язували і деякі рівняння 3-го степеня, наприклад х<sup>3</sup> + х = а.
У Стародавній [[Греція|Греції]] [[квадратне рівняння|квадратні рівняння]] розв'язували за допомогою геометричних побудов. Грецький [[математик]] [[Діофант]] розробив методи розв'язку алгебраїчнихалгебричних рівнянь і систем таких рівнянь з багатьма невідомими в раціональних числах. Наприклад, він розв'язав в раціональних числах рівняння х<sup>4</sup> — у<sup>4</sup> + z<sup>4</sup> = n<sup>2</sup>, систему рівнянь <math> \left \{ \begin{matrix} y^3 + x^2 = u^2 & \\ z^2 + x^2 = v^3 & \end{matrix} \right. </math> і т. д. (див. [[Діофантові рівняння]]).
Деякі геометричні задачі: подвоєння [[куб]]а, трисекція [[кут]]а, побудова [[правильний семикутник|правильного семикутника]] (див. [[Класичні задачі давнини]]) — зводяться до розв'язання кубічних рівнянь. Для їх розв'язку необхідноно було відшукати точки перетину конічних перетинів ([[еліпс]]ів, парабол і гіпербол). Користуючись геометричними методами, математики середньовічного Сходу досліджували розв'язки кубічних рівнянь. Проте їм не вдалося вивести загальну формулу для їх розв'язку. Першим великим відкриттям західноєвропейської математики стала отримана в XVI ст. формула для розв'язку [[кубічне рівняння|кубічного рівняння]]. Оскільки в той час від'ємні числа ще не отримали поширення, довелося окремо розбирати такі типи рівнянь: х<sup>3</sup> + рх = q, х<sup>3</sup> + q = рх і т. д. Італійський математик [[Сципіон дель Феро|С. дель-Феро]] (1465—1526) розв'язав рівняння х<sup>3</sup> + рх = q і повідомив розв'язок свому зятю і учневі А.-М. Фіоре, який викликав на математичний турнір чудового математика-самоучку [[Нікколо Тарталья|Н. Тарталью]] (1499−1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний метод розв'язку кубічних рівнянь і переміг, швидко розв'язавши всі запропоновані йому 30 завдань. Проте знайдена Тартальєю [[формула]] для розв'язання рівняння х<sup>3</sup> + рх + q = 0
була опублікована не ним, а італійським ученим [[Кардано Джироламо|Дж. Кардано]] (1501—1576), який дізнався її від Тартальї. Тоді ж [[Лудовіко Феррарі|Л. Феррарі]] (1522—1565), учень [[Кардано]], знайшов розв'язок рівняння 4-го степеня.
Створення алгебраїчноїалгебричної символіки і узагальнення поняття числа аж до комплексних чисел дозволили в XVII—XVIII ст. досліджувати загальні властивості алгебраїчнихалгебричних рівнянь вищих степенів, а також загальні властивості багаточленів від однієї і кількох змінних.
Одною з найважливіших задач [[теорія|теорії]] алгебраїчнихалгебричних рівнянь в XVII—XVIII ст. було відшукання формули для розв'язку рівняння 5-го степеня. Після безплідних пошуків багатьох поколінь алгебраїстівалгебристів зусиллями французького вченого XVIII в. [[Лагранж Жозеф-Луї|Ж. Лагранжа]] (1736—1813), італійського вченого [[Паоло Руффіні|П. Руффіні]] (1765—1822) і норвезького математика [[Нільс Генріх Абель|Н. Абеля]] наприкінці XVIII — на початку XIX ст. було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння 5-го степеня через його коефіцієнти, використовуючи лише арифметичні операції й операцію кореня. Ці дослідження були завершено роботами [[Еварист Галуа|Е. Галуа]], теорія якого дозволяє для будь-якого рівняння визначити, виражаються його корені в радикалах (див. [[Теорія Галуа]]). Ще до цього [[Карл Фрідріх Гаус|К. Ф. Гаус]] розв'язав проблему знаходження в квадратних радикалах коренів рівняння х<sup>n</sup> — 1 = 0, до якого зводиться задача про побудові за допомогою циркуля і лінійки правильного n-кутника. Зокрема, неможливо за допомогою цих інструментів побудувати правильний семикутник, дев'ятикутник і т. д. — така побудова можлива тоді, коли n — просте число виду <math> 2^{2^k} + 1 </math> чи добуток різних простих чисел такого виду.
Поряд з пошуком формул для розв'язку конкретних рівнянь було досліджено питання про існування коренів алгебраїчногоалгебричного рівняння. У XVIII ст. французький [[філософ]] і математик [[Жан Лерон д'Аламбер|Ж. д'Аламбер]] довів, що будь-яке алгебраїчнеалгебричне рівняння ненульової степені з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. У доведенні Д'Аламбера були пропуски, яку пізніше доповнив Гаус. З цієї теореми випливало, що будь-який многочлен степеня n розкладається на n лінійних множників.
В наш час [[теорія систем]] алгебраїчнихалгебричних рівнянь перетворилася в самостійну область математики — алгебраїчнуалгебричну геометрію. Вона вивчаються лінії, поверхні та многовиди вищих розмірностей, що задаються системами таких рівнянь.
== Посилання ==
| 