Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

Ніяких змін в розмірі ,  8 років тому
стильові правлення
м (робот додав: et:Topoloogiline muutkond, fr:Variété topologique, nl:Topologische variëteit, вилучив: de:Mannigfaltigkeit (strong connection between (3) de:Mannigfaltigkeit and uk:Многовид))
(стильові правлення)
Будемо скрізь в цій статті вважати [[функція (математика)|функції]] (1) достатньо гладкими (неперервні другі похідні), з невиродженим [[метричний тензор|метричним тензором]] <math>g_{ij} = (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j)</math>.
 
Координатні вектори <math>\mathbf{r}_i = {\partial \mathbf{r} \over \partial u^i}</math> в точці многовида <math>P</math> задають [[Афінний простір|афінний підпростір]] - [[дотична|дотичну]] до многовида гіперплощину. Ортогональним доповненням до гіперплощини є пряма <math>L</math>, що проходить через дану точку многовида і [[перпендикуляр]]на до неї. Виберемо (якийсь один із двох можливих) напрям цієї прямої і відкладемо на прямій [[одиничний вектор]] <math>\mathbf{n}</math>. В сусідній (близькій до точки <math>P</math>) точці <math>P'</math> многовида ортогональна пряма <math>L'</math> буде близькою поза напрямкунапрямком до прямої <math>L</math>, тому [[проекція]] вектора <math>\mathbf{n}</math> на <math>L'</math> уже однозначно задає додатній напрям на прямій <math>L'</math>. Відкладемо в цьому додатньому напрямку прямої <math>L'</math> одиничний вектор <math>\mathbf{n}'</math>. Таким чином, рухаючись від однієї точки многовида до іншої в деякій області многовида, ми матимемо векторну функцію:
: <math>(2) \qquad \mathbf{n} = \mathbf{n}(P) = \mathbf{n}(u^1, u^2, \dots u^n)</math>
Ця функція буде неперервною (оскільки гіперповерхня (1) гладка, без особливих точок). Спробуємо поширити функцію <math>\mathbf{n} = \mathbf{n}(P)</math> на весь многовид. Це можна зробити в тому випадкуразі, коли рухаючись по будь-якому замкнутому контуру, що лежить в гіперповерхні, почавши з точки <math>P</math> і обчислюючи по неперервності вектор нормалі, ми вернемося в точку <math>P</math> з тим самим напрямком вектора нормалі. Така гіперповерхня називається '''двосторонньою''' або '''орієнтовною'''. Але бувають і такі гіперповерхні, що обійшовши деякий замкнутий контур ми повернемось в точку <math>P</math> з протилежним вектором нормалі. Такі гіперповерхні називають '''односторонніми''' або '''неорієнтовними'''. Прикладами односторонніх гіперповерхонь є стрічка Мебіуса та пляшка Клейна.
 
Із ортогональності вектора нормалі до координатних векторів гіперповерхні маємо рівняння:
== Похідні вектора нормалі ==
 
Диференціювання по координатамкоординатах многовида формули (4) дає:
: <math>(8) \qquad {\partial \over \partial u^i} \mathbf{n}^2 = 2 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}_i) = 0</math>
тобто похідні одиничного вектора нормалі <math>\mathbf{n}_i = {\partial \mathbf{n} \over \partial u^i}</math> ортогональні до самого вектора нормалі <math>\mathbf{n}</math>, а тому лежать в дотичній до многовида гіперплощині. Ми можемо розкласти вектор <math>\mathbf{n}_i</math> по базисних векторах дотичного простору:
: <math>(21) \qquad g^{ij} \tau_i^{(s)} \tau_j^{(p)} = g_{ij} \tau^{(s) i} \tau^{(p) j} = \delta^{sp}</math>
 
ПоЗа формуліформулою (7a) ми можемо знайти кривину геодезичної лінії, що проведена паралельно одному з власних векторів <math>\boldsymbol{\tau}^{(s)}</math>:
: <math>(22) \qquad k = b_{ij} \tau^{(s) i} \tau^{(s) j} = k^{(s)} \tau_j^{(s)} \tau^{(s) j} = k^{(s)}</math>
Власні числа <math>k^{(1)}, k^{(2)}, \dots k^{(n)}</math> називаються головними кривинами гіперповерхні, а відповідні їм власні вектори - головними напрямками.
Те ж саме можна записати в тензорних позначеннях:
: <math>(24) \qquad b_{ij} = k^{(i)} \delta_{ij}</math>
ву цій формулі додавання поза індексуіндексом <math>i</math> не проводиться.
 
Запишемо спектральний розклад тензора <math>b_{ij}</math>, користуючись власними числами і векторами. В довільній системі координат маємо:
: <math>(35) \qquad \sigma^{(ps)}_{ij} \sigma^{(kl)\, ij} = 0, \; \mbox{if } (ps) \ne (kl)</math>
 
ВУ правій частині формули (31) діагональні доданки з однаковими індексами (<math>p=s</math>) дорівнюють нулю, а недіагональні розбиваються на дві однакові поза кількостікількістю групи: доданки з <math>p < s</math>, і доданки з <math>p > s</math>. Тому формулу (31) можна переписати так:
: <math>(36) \qquad R_{ijkl} = \sum_{p < s} k^{(p)} k^{(s)} \sigma^{(ps)}_{ij} \sigma^{(ps)}_{kl}</math>
Із формули (36) і властивості [[Бівектор|бівектора]] легко видно, що має виконуватися алгебраїчна тотожність Біанкі. Адже для будь-якого бівектора <math>\sigma){ij}</math> (орієнтованої площадки) маємо тотожність: