Відмінності між версіями «Нерівність Єнсена»

м
→‎Дискретний випадок: стильове правлення за допомогою AWB
м (r2.7.1) (робот додав: kk:Йенсен теңсіздігі)
м (→‎Дискретний випадок: стильове правлення за допомогою AWB)
для будь-яких ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>.
 
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений [[математична індукція|методом математичної індукції]]. Згідно припущенняз припущенням індукції твердження справедливе для ''n''&nbsp;=&nbsp;2</sub>. Припустимо воно справедливе для певногго даного ''n'' і потрібно довести нерівність для ''n''&nbsp;+&nbsp;1. Принаймі одне ''λ''<sub>''i''</sub> є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) ''λ''<sub>1</sub>. За означенням [[опукла функція|опуклості]]:
 
: <math>\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).</math>