|
== Математичне вираження проекції Меркатора ==
[[Файл: Mercator grid.png | thumb | Карта світу в проекції Меркатора з координатними лініями, проведеними через 20 °.]]
Для початку розглянемо найпростіший варіант проекції Меркатора: проекцію сфери на циліндр. Цей варіант не враховує сплюснутістю Землі біля полюсів. Ціліндрічності проекції відразу дає нам вираз для горизонтальної координати на карті: вона просто пропорційна [[довгота | довготі]] точки
<math> \ lambda </ math> (при використанніиспользовании в розрахункахрасчетах слідследует врахуватиучесть, щочто виражатисявыражаться цяэта величина повиннадолжна в радіанахрадианах)
: <math> X x= c (\ lambda-\ lambda_0) </ math>.
УмоваУсловие рівнокутноїравноугольности -— цеэто просто рівністьравенство масштабівмасштабов по горизонтальнійгоризонтальной іи вертикальноївертикальной осіоси. ОскількиПоскольку масштаб по осіоси X на широтішироте <math> \ theta </ mathmath> дорівнюєравен просто <math> c / (R \ cos \ theta) </ math> (''R''- радіус— радиус ЗемліЗемли), то зиз умовиусловия
<math> dy R \ cos \ theta / c = R d \ theta </ mathmath> мимы отримуємополучаем виразвыражение для залежностізависимости ''y''від от
<math> \ theta </ mathmath>
: <math>
\ Begin begin{matrix}
y & = & c \ ln \ mathop {\ rm tg} \ left (\ frac {\ theta} {2} + \ frac {\ pi} {4} \ right) \ \
& = & Cc \, \ mathop {\ rm ath} \ sin \ theta
\ End end{matrix}
</ Mathmath>.
Обратное преобразование
Зворотне перетворення
: <math>
\ Begin begin{matrix}
\ Thetatheta & = & 2 \ mathop {\ rm arctg} \ left( (e ^ {y / c} \ right) - \ frac {1} {2} \ pi
\ \ \ \ \ & = & \ Mathop mathop{\ rm arctg} \ left( (\ mathop {\ rm sh} (y / c) \ right)
\ \ \ \\ \ Lambdalambda & = & x / c + \ lambda_0.
\ End end{matrix}
</ Mathmath>
Тепер неважко отримати вирази для рівнокутної проекції з урахуванням [[еліпсоїд]] альної форми Землі. Для цього треба записати [[метрична форма | метричну форму]] для еліпсоїда (''a''- велика піввісь,''b''- менша) в географічних координатах
: <math>
| 