Відмінності між версіями «Метричний простір»

|hidden=1}}
 
==Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжність==
==Топологія породжена метрикою==
Будь-який метричний простір є [[топологічний простір|топологічним простором]], тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природнім чином поширити на метричні простори.
Кожна метрика породжує топологію [[База топології|базою]], що складається з [[Відкрита множина|відкритих]] куль метричного простору.
 
Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі [[Аксіоми віддільності|аксіоми віддільності]].
Для будь-якої точки <math>\;x</math> метричного простору <math>\;X</math> визначимо [[відкрита множина|відкриту]] кулю радіуса <math>\;r>0</math> з центром в точці <math>\;x</math>, як множину <math>B(x,r)\equiv\{y\in X|d(x,y)<r\}</math>. Такі відкриті кулі породжують топологію на <math>\;X</math>, а значить і топологічний простір. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі [[Аксіоми віддільності|аксіоми віддільності]].
 
Підмножина <math>\;U</math> метричного простору <math>\;X</math> називається відкритою, якщо <math> \forall x\in U \;\exists r>0 </math>, такий що <math>B(x,r) \subset U.</math> Доповненням до відкритої множини називається [[замкнута множина]]. Околом точки <math>x \in X</math> називається будь-яка відкрита підмножина <math>\;X</math>, що містить <math>\;x</math>.
 
Послідовність <math>\{\;x_n\}</math> метричного простору <math>\;X</math> називається збіжною до границі <math>x \in X</math> тоді і тільки тоді, коли <math>\forall \epsilon>0 \;\exists N\in \N \;\forall n>N \;d(x_n,x) < \epsilon.</math> Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.
 
Підмножина <math>\;A</math> метричного простору <math>\;X</math> замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність <math>\;A</math> збіжна в <math>\;X</math> і має границю, що належить <math>\;A</math>.
 
== Гомеоморфізм. Ізоморфізм ==
Якщо відображення <math>\;f:X \to Y</math> взаємно однозначне, то існує обернене відображення <math>\;x=f^{-1}(y)</math> простору <math>\;Y</math> на простір <math>\;X</math>. Якщо відображення <math>\;f</math> взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори <math>\;X</math> та <math>\;Y</math>, між якими можно встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.
17

редагувань