Метричний простір: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Kpi.fpm (обговорення | внесок) |
Kpi.fpm (обговорення | внесок) |
||
Рядок 19:
# Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню </br> <math>d(x,\;y)=(\sum_{k=1}^n |y_k-x_k|^p)^{1/p}</math>,</br> де <math>p</math> - будь-яке фіксоване число <math>\geq 1</math>. Цей простір позначимо <math>\mathbb{R}^n_p</math>
== Метричні простори і аксіоми зчисленності ==
1. Будь-який метричний простір задовільняє [[перша аксіома зліченності|першу аксіому зчисленності]].
{{Hider|title=Доведення|content=
Нехай <math>\;a</math> - довільна точка метричного простору <math>\;X</math>, тоді в якості зчисленної визначальної системи околів можна взяти кулі <math> U(a,{1 \over n}) \equiv \{ x \in X| d(a,x)<{1 \over n}\}, n \in \mathbb{N} </math>. </br> Тоді, для кожної граничної точки знайдеться збіжна послідовність точок із цієї множини.
|hidden=1}}
2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовільняє [[друга аксіома зліченності|другу аксіому зчисленності]].
{{Hider|title=Доведення|content=
Зчисленну базу топології такого простору утворюють, наприклад, наступні відкриті кулі: <math>U(x_n,{1 \over m}), n,m\in \N</math>, де <math>{\;x_n}</math> - зчисленна скрізь [[щільна множина|щільна множина]], а змінні <math>m,\;n</math> пробігають всі натуральні числа незалежно одна від одної.
|hidden=1}}
==Топологія породжена метрикою==
Кожна метрика породжує топологію [[База топології|базою]], що складається з [[Відкрита множина|відкритих]] куль метричного простору.
| |||