Лема про вкладені відрізки: відмінності між версіями
Лема про вкладені відрізки |
(Немає відмінностей)
|
Версія за 20:34, 4 червня 2011
Лема про вкладені відрізки
Загальне формулювання
Нехай існують монотонно зростаюча варіанта та монотонно спадна варіанта , причому завжди
. (Посилання 1)
Якщо їх різниця пямує до 0, тоді обидві варіанти мають загальну кінцеву границю:
Допоміжна теорема для доведення
Якщо варіанти та мають кінцеві границі:
, ,
то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому
Доведення
З умови теореми випливає, що
, , (посилання 2)
де , - нескінченно малі. Тоді
Тут є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням границі, можна стверджувати, що варіанта має границю, що дорівнює , що і потрібно було довести.
Доведення
Дійсно, при всіх значеннях n маємо: , а значить, зважаючи на (1), і . Зростаюча змінна виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю .
Аналогічно, для спадної змінної будемо мати , так що і вона прямує до кінцевою границі .
Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь
тобто, за умовами рівна 0, так що , що і треба було довести.
Джерела
Г.М. Фихтенгольц. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧЕСЛЕНИЯ. ТОМ 1. Издание седьмое, стереотипное. Издательство "НАУКА". Москва 1969