Хвильове рівняння: відмінності між версіями

'''ХвильовеХвильове́ рівняннярівня́ння''' — - [[рівняння]], яке описує розповсюдження [[хвиля|хвиль]] у [[простір|просторі]].

Хвильове рівняння є зазвичай рівняння другого порядку у часткових похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одномірному випадку хвильвехвильове рівняння записується.

: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0. </math>,

де u -&nbsp;— невідома функція, яка описує хвилю, x -&nbsp;— просторова координата, t -&nbsp;— час, s -&nbsp;— швидкість розповсюдження хвилі.

== Розв'язки ==

Хвильові рівняння мають багато можливих розв'язків. Реалізація того чи іншого із них залежить від граничних та початкових

умов: від того, як хвилю народилася, які перешкоди зустрічає на своєму шляху, тощо.

Загальний розв'язок хвильового рівняння подається суперопицією функцій типу

: <math> u = u_0 \cos(kx - \omega t - \varphi) </math>,

де <math>u_0 </math> -&nbsp;— [[амплітуда]] хвилі, k -&nbsp;— [[хвильове число]], &omega; -&nbsp;— [[циклічна частота]], <math>\varphi </math> -&nbsp;— фаза хвилі.

Хвильове число та частота зв'язані між собою дисперсійним співвідношенням

: <math> k = \frac{\omega}{s} </math>

== Інші типи хвильвих рівнянь ==

Вільна частка описується у квантовій механіці [[рівняння Шредінгера|рівнянням Шредінгера]]. Це рівняння параболічного типу, проте комплексне.