Відмінності між версіями «Розподіл Рейлі»

м
:<math>\mathsf P(X\leqslant x)=\int\limits_0^xf(\xi)\,d\xi=1-\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0.</math>
Введено вперше в 1880 р. [[Джон Вільям Стретт (лорд Релей)|Джоном Вільямом Стреттом (лордом Рeлеєм)]] у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.
 
== Властивості ==
Моменти випадкової величини з розподілом Релея обчислюються за формулою:
 
:<math>\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,</math>
 
де <math>\Gamma(z)</math> — [[Гамма-функція]].
 
[[Математичне сподівання]] тa [[дисперсія]] випадкової величини з розподілом Релея виражається як:
 
:<math>\mu(X) = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \approx 1.253 \sigma,</math>
 
і
 
:<math>\textrm{var}(X) = \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2\ \approx 0.429 \sigma^2.</math>
 
Мода дорівнює <math>\sigma </math>, а максимум щільності
 
:<math> f_\text{max} = f(\sigma;\sigma) = \frac{1}{\sigma} \exp{-\frac{1}{2}} \approx \frac{0.606}{\sigma} </math>
 
[[Коефіцієнт асиметрії]] задається як:
 
:<math>\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}} \approx 0.631.</math>
 
Формула для обчислення [[Коефіцієнт ексцесу|коефіцієнта ексцесу]]:
 
:<math>\gamma_2=-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2} \approx 0.245.</math>
 
[[Характеристична функція випадкової величини|Характеристична функція]] задається формулою:
 
:<math>\varphi(t)=1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)</math>
 
дe <math>\operatorname{erfi}(z)</math> — коомплексна [[функція помилок]]. Формула для [[Твірна функція моментів|твірної функції моментів]]
 
:<math>M(t)=\,</math>
:<math>1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right),</math>
 
дe <math>\operatorname{erf}(z)</math> —[[функція помилок]].
 
===Ентропія інформації===
[[Інформаційна ентропія|Ентропія інформації]] задається як
 
:<math>H=1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}</math>
 
дe <math>\gamma</math> — [[стала Ейлера — Маскероні]].
 
== Застосування ==
27 098

редагувань