Теорема косинусів: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м r2.7.1) (робот додав: zh-classical:餘弦定理 |
м r2.6.4) (робот змінив: ar:قانون جيب التمام; косметичні зміни |
||
Рядок 1:
'''Теорема косинусів''' —
:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos C . \;</math>
Рядок 13:
== Доведення (для гострого кута) ==
[[
Нехай '''a''', '''b''', і '''c''' це сторони трикутника а A, B, і C це [[кут|кути]] протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B що утворює прямий кут із протилежною стороною, '''b'''. Якщо довжина цього відрізка '''x''', тоді <math>\sin C = \frac{x}{a} , \;</math> звідки <math>x=a \cdot \sin C . \;</math>
Це означає, що довжина цього відрізку <math>a \cdot \sin C. \;</math> Схожим чином, довжина частини '''b''' що з'єднує точку перетину відрізку із стороною '''b''' та кут C рівна <math>a \cdot \cos C. \;</math> Решта довжини '''b''' рівна <math>b - a \cdot \cos C. \;</math> Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами <math>a \cdot \sin C , \;</math> <math>b - a \cdot \cos C , \;</math> і гіпотенузою '''c.''' Звідси, відповідно до [[теорема Піфагора|теореми Піфагора]]:
* <math>c^2 = (a \cdot \sin C)^2 + (b - a \cdot \cos C)^2 \;</math>
* <math>c^2 = a^2 \cdot \sin^2 C + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C + a^2 \cdot \cos^2 C \;</math>
* <math>c^2 = a^2 \cdot (\sin^2 C + \cos^2 C) + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \;</math>
* <math>\sin^2 C + \cos^2 C \;</math> завжди 1, отже
* <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \;</math>
== Доведення теореми косинусів використовуючи вектори ==
<div style="float:right;margin:0 0 1em 1em;">[[
Використовуючи [[вектор|вектори]], ми можемо легко довести теорему косинусів. Нехай ми маємо довільний трикутник із вершинами A, B, і C що утворений векторами '''a''', '''b,''' і '''c,''' нам відомо, що:
* <math>\mathbf{a = b - c} \;</math> звідси
* <math>\mathbf{(b - c)\cdot (b - c) = b\cdot b - 2 b\cdot c + c\cdot c} . \;</math>
Згадавши чому дорівнює добуток двох векторів, отримаємо
* <math>\mathbf{|a|^2 = |b|^2 + |c|^2 - 2 |b||c|}\cos \theta . \;</math>
== Див також ==
* [[Триангуляція]]
* [[Теорема синусів]]
* [[Теорема тангенсів]]
== Посилання ==
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cosine.shtml Декілька доказів теореми косинусів, включаючи запропонований Евклідом (англ)]
[[Категорія:Теореми]]
Рядок 47 ⟶ 46:
[[Категорія:Трикутники]]
{{Link FA|ca}}▼
{{Link FA|fr}}
{{Link GA|es}}
▲{{Link FA|ca}}
[[als:Kosinussatz]]
[[ar:
[[bg:Косинусова теорема]]
[[bs:Kosinusni teorem]]
| |||