|
'''4-тензор''' — математичний об'єкт, який використовується для описання поля в релятивістській фізиці, [[тензор]], визначений у чотиривимірному [[Простір-час|просторі-часі]], повороти системи відліку в якому включають як звичні повороти тривимірного простору, так і перехід між [[система відліку|системами відліку]], які рухаються з різними швидкостями одна щодо іншої.
{{merge|4-тензор}}
У загальтому випадку 4-тензор є об'єктом із набором індексів:
:<math> A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{j_1 j_2 \ldots j_m} </math>
При зміні системи відліку компоненти цього об'єкта перетворюються за законом<ref> Тут, як заведено в теорії відносності, знак суми опускається — повторення індекса внизу і вгорі означає підсумовування</ref>
== Чотиривимірний тензор ==
:<math> A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{\prime j_1 j_2 \ldots j_m} = \beta_{j_1 k_1} \beta_{j_2 k_2} \ldots \beta_{j_m k_m} \alpha_{i_1 l_1} \alpha_{i_2 l_2} \ldots \alpha_{i_n l_n} A_{l_1 l_2 \ldots l_n}^{k_1 k_2 \ldots k_m} </math>,
Основною властивістю, і фактично означенням, [[Тензор|тензора]] <math>T_{ij\cdots}^{kl\cdots}</math> є закон перерахунку його компонент при зміні системи координат:
: <math>(1) \qquad \hat T_{ij\cdots}^{kl\cdots} = \alpha_{k_1}^k \alpha_{l_1}^l \cdots \beta_i^{i_1} \beta_j^{j_1} \cdots T_{i_1 j_1\cdots}^{k_1 l_1\cdots} </math>
де (взаємно обернені) матриці переходу <math>\alpha^i_j, \; \beta^i_j</math> є частинними похідними формул, що задають нові координати відносно старих та навпаки:
: <math>(2) \qquad \alpha^i_j = {\partial \hat x^i \over \partial x^j}, \qquad
\beta^i_j = {\partial x^i \over \partial \hat x^j} </math>
де <math> \alpha_{ij} </math> — [[матриця повороту]], <math> \beta_{ij} </math> — обернена їй.
В загальному випадку, дві системи координат <math>\{ x^0, x^1, x^2, x^3 \}</math> та
<math>\{ \hat x^0, \hat x^1 \hat x^2 \hat x^3\} </math> чотиривимірного простору-часу повязані формулами:
: <math>(3) \qquad \hat x^0 = \hat x^0 (x^0, x^1, x^2, x^3)</math>
: <math> \qquad \hat x^1 = \hat x^1 (x^0, x^1, x^2, x^3)</math>
: <math> \hat x^2 = \hat x^2(x^0, x^1, x^2, x^3)</math>
: <math> \hat x^3 = \hat x^3 (x^0, x^1, x^2, x^3)</math>
де кожна із нових координат є довільною функцією від усіх старих. Фізично, координатні лінії нової системи координат можуть рухатися відносно старої системи координат з прискоренням, вигинаючись подібно до щупалець [[Восьминіг|восьминога]]. Точніше, вигинання просторових координатних ліній описують три останні рівняння (3), а перше означає, що і плин часу в новій системі координат може бути нерівномірним, та ще й може змінюватися від точки до точки.
Верхні індекси називаються '''котраваріатними''', нижні — '''коваріантними'''. Сумарне число індексів задає '''ранг''' тензора. [[4-вектор]] є 4-тензором першого рангу.
== Заміна просторових координат ==
Зазвичай у фізиці тензори однакової природи з різним числом коваріантних і контраваріантних індексів вважаються спорідненими ('''дуальними'''). Опускання чи піднімання індеска здійснюється за допомогою [[метричний тензор|метричного тензора]] <math> \hat{g} </math>, наприклад для 4-тензора другого рангу
Якщо робити обчислення компонент тензора в довільній рухомій системі координат, про яку було сказано в попередньому пункті, то важко буде порівнювати результати з експериментом, адже зручно розглядати лише інерційні системи координат, або близькі до інерційних (згідно принципу еквівалентності гравітація еквівалентна силам інерції, тому в умовах сильного гравітаційного поля глобальної інерційної системи не існує).
:<math> A^{ij} = g^{jk} A^i_k </math>
==Приклади==
В цій приблизно інерційній системі координат вісь часу сприймається окремо від простору, і ми можемо розглядати такі заміни координат (наприклад перехід від прямокутної декартової у сферичну систему координат), де час <math>x^0</math> залишається незмінним, а просторові координати однієї системи <math>\{ \hat x^1, \hat x^2, \hat x^3 \}</math> виражаються через просторові координати іншої, і не залежать від часу:
: <math>(4) \qquad \hat x^0 = x^0</math>
: <math>\hat x^1 = \hat x^1(x^1, x^2, x^3)</math>
: <math>\hat x^2 = \hat x^2(x^1, x^2, x^3)</math>
: <math>\hat x^3 = \hat x^3(x^1, x^2, x^3)</math>
матриці переходу між такими системами координат мають блочно-діагональний вигляд, а саме:
: <math>(5) \qquad (\alpha_j^i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_1^1 & \alpha_1^2 & \alpha_1^3 \\
0 & \alpha_2^1 & \alpha_2^2 & \alpha_2^3 \\ 0 & \alpha_3^1 & \alpha_3^2 & \alpha_3^3 \end{bmatrix}</math>
: <math>(5a) \qquad (\beta_j^i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \beta_1^1 & \beta_1^2 & \beta_1^3 \\
0 & \beta_2^1 & \beta_2^2 & \beta_2^3 \\ 0 & \beta_3^1 & \beta_3^2 & \beta_3^3 \end{bmatrix}</math>
дійсно, із першого рівняння (4) маємо:
: <math>(6) \qquad \alpha_0^0 = {\partial \hat x^0 \over \partial x^0} = 1 </math>
: <math>(7) \qquad \alpha_i^0 = {\partial \hat x^0 \over \partial x^i}\big|_{x^0 = const} = 0, \qquad (i = 1, 2, 3) </math>
а з решти трьох рівнянь (4) маємо:
: <math>(8) \qquad \alpha_0^i = {\partial \hat x^i \over \partial x^0} = 0, \qquad (i = 1, 2, 3)</math>
Такі ж міркування справедливі і для оберненої матриці <math>\beta_j^i</math>, якщо врахувати, що система рівнянь, обернена до (4) має точно такий самий вигляд.
Рівняння [[теорія відносності|теорії відносності]] особливо зручно записувати, використовуючи [[4-вектор]]и й [[4-тензор]]и. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично [[Гендрик Лоренц|Лоренц]]-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної [[система координат|системи координат]] до іншої.
== Поділ компонент чотиривимірних тензорів на групи ==
===4-терзор електромагнітного поля ===
Розглянемо для прикладу тензор третього рангу <math>T^{ijk}</math>. Поглянемо, як змінюється його нульова компонента <math>T^{000}</math> при заміні просторових координат (4):
{{Докладніше|4-тензор електромагнітного поля}}
: <math>(9) \qquad \hat T^{000} = \sum_{i,j,k = 0}^3 \alpha_i^0 \alpha_j^0 \alpha_k^0 T^{ijk} =
\alpha_0^0 \alpha_0^0 \alpha_0^0 T^{000} = T^{000}</math>
в цих перетвореннях ми врахували спочатку формулу (8) (при <math>i \ne 0</math>) чим відсіяли нульові доданки, а потім фомулу (6).
Відповідний 4-тензор існує також і для опису [[електромагнітне поле|електромагнітного поля]]. Це 4-тензор другого рангу. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: [[рівняння Максвела]] й рівняння руху [[електричний заряд|зарядженої частки]] в полі мають особливо просту й елегантну форму.
Як бачимо з формули (9), нульова компонента довільного тензора залишається незмінною при перетвореннях (4), тобто є тривимірним скаляром. Тепер звернемося до компонент тензора <math>T^{00i}</math> з одним "просторовим" індексом <math>i = 1, 2, 3</math>:
: <math>(10) \qquad \hat T^{00i} = \sum_{p, q, j = 0}^3 \alpha_p^0 \alpha_q^0 \alpha_j^i T^{pqj} = \alpha_j^i T^{00j}</math>
тобто ця сукупність компонент 4-тензора поводиться як тривимірний вектор. Також тривимірним вектором буде <math>T^{0i0}</math>, цей вектор може відрізнятися від щойно розглянутого, якщо 4-тензор був несиметричний по останніх двох індексах. Аналогічно маємо, що <math>T^{0ij}</math> є просторовим тензором другого рангу, а <math>T^{ijk}</math> - просторовим тензором третього рангу.
====Визначення через 4-потенціал====
Треба зазначити, що можна виділяти тривимірні тензори як з коваріантних, так і з контраваріантних компонент 4-тензора. Результат ми одержимо різний. Чому це так, стане ясно після розгляду метрики простору-часу і деяких простих геометричних міркувань.
4-тензор визначається через [[похідна|похідні]] від 4-потенціалу <ref> Формули на цій сторінці записані у системі
одиниць [[СГС]]Г.</ref>:
:<math> F_{ik} = \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k} </math>.
====Визначення через тривимірні вектори====
== Просторові компоненти метричного тензора ==
4-тензор визначається через звичайні тривимірні складові [[вектор]]ів напруженості так:
:<math>
F_{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\
-E_x & 0 & -H_z & H_y \\
-E_y & H_z & 0 & -H_x \\
-E_z & -H_y & H_x & 0
\end{matrix} \right)
</math>
:<math>
Розглянемо компоненти метричного тензора <math>g_{ij}</math>. Згідно попереднього пункту, з цих 16-ти компонент можна виділити один тривимірний скаляр <math>a = g_{00}</math>, один тривимірний вектор <math>b_i = g_{0i}=g_{i0} \;(i= 1, 2, 3)</math> та один тривимірний симетричний тензор, який ми візьмемо зі знаком мінус: <math>\gamma_{ij} = - g_{ij}</math>. Тоді матриця метричного тензора простору-часу запишеться так:
:<math>(11) \qquad (g_F^{ijik}) = \left( \begin{bmatrixmatrix} a0 & b_1-E_x & b_2-E_y & b_3-E_z \\
b_1E_x & - \gamma_{11}0 & - \gamma_{12}H_z & -\gamma_{13}H_y \\
b_2E_y & - \gamma_{21}H_z & - \gamma_{22}0 & -\gamma_{23}H_x \\
E_z & -H_y & H_x & 0
b_3 & - \gamma_{31} & - \gamma_{32} & -\gamma_{33} \end{bmatrix}</math>
\end{matrix} \right)
Вияснимо фізичний зміст тривимірного тензора <math>\gamma_{ij}</math>. Для цього розглянемо тривимірний підпростір (в 4-вимірному просторі-часі) у фіксований момент часу <math>x^0 = const, \; (t = x^0 /c = const)</math>. Цей підпростір є деякою (в загальному випадку кривою) гіперповерхнею 4-вимірного простору. Квадрат відстані <math>d l^2</math> між двома сусідніми точками цієї гіперповерхні (<math>d x^0 = 0</math>) є додатня величина, що дорівнює взятому зі знаком мінус просторво-часовому інтервалу:
</math>
: <math>(12) \qquad d l^2 = - d s^2 = - \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij} dx^i d x^j = \sum_{i, j = 1}^3 \gamma_{ij} dx^i d x^j > 0 </math>
Як видно з останньої формули, <math>\gamma_{ij}</math> є тривимірним метричним тензором.
Перша форма — це коваріантний [[тензор]], друга форма — контраваріантний тензор.
Скаляр <math>a = g_{00}</math> очевидно задає масштаб часу (спільний для всіх систем координат, які повязані з даною перетвореннями (4)). Вектор <math>b_i = g_{0i}</math> є мірою неортогональності вибраної осі часу щодо просторових координат. Це проявляється в тому, що обчислення координати швидкості світла дає різний результат в напрямку вектора <math>\mathbf{b}</math> і в протилежному напрямку. А саме, розглянемо дві близькі точки простору-часу, які належать траекторії світла. Просторово-часовий інтервал між цими точками дорівнює нулю:
: <math>(13) \qquad 0 = g_{ij} d x^i d x^j = a (d x^0)^2 + 2 \sum_{i=1}^3 b_i d x^0 d x^i - \sum_{i,j = 1}^3 \gamma_{ij} dx^i d x^j</math>
Позначимо компоненти швидкості світла <math>v^i = {d x^i \over d t}</math>, і поділимо (13) на <math>d t^2</math>. Останній доданок (13) дасть очевидно квадрат швидкості світла (згортка вектора з метричним тензором), а другий доданок - скалярний добуток швидкості світла на вектор <math>\mathbf{b} = \mathbf{u} / c</math>. Маємо:
: <math>(14) \qquad 0 = a c^2 + 2 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) - \mathbf{v}^2</math>
Зробивши заміну просторових координат, направимо вісь абсцис <math>Ox</math> вздовж вектора <math>\mathbf{u}</math> і перейдемо до проекції на цю вісь, яка може бути додатньою або від'ємною. Для знаходження проекції <math>v</math> маємо квадратне рівняння:
: <math>(15) \qquad a c^2 + 2 u v - v^2 = 0</math>
звідки маємо два розвязки для руху світла в протилежних напрямках:
: <math>(16) \qquad v = u \pm \sqrt{a c^2 + u^2}</math>
Модулі цих величин різні, якщо <math>u \ne 0</math>.
====Сила Лоренца====
Цікаво також поглянути на викривлений фізичний простір-час, аналогічно до того, як це робится в [[Диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]], уявивши його вміщеним у гіпотетичний плоский псевдоевклідовий простір достатньо великої розмірності <math>N</math>. Радіус-вектор в цьому охоплюючому просторі позначимо <math>\mathbf{r}</math>. Тоді фізичний простір-час задається параметрично:
: <math>(17) \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}(x^0, x^1, x^2, x^3)</math>
а тривимірний простір всередині 4-вимірного одержується поклавши в (17) <math>x^0 = const</math>. Тобто маємо такий тривимірний многовид, залежний від трьох параметрів:
: <math>(18) \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}(x^1, x^2, x^3) </math>
Координатні (''N''-вимірні!) вектори в обох випадках даються формулами:
: <math>(19) \qquad \mathbf{r}_i = {\partial \mathbf{r} \over \partial x^i}</math>
ці величини, очевидно, співпадають при просторових значеннях індекса (<math>i = 1, 2, 3</math>). Метричний тензор обчислюється через псевдоевклідовий скалярний добуток цих векторів:
: <math>(20) \qquad g_{ij} = (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j)</math>
Записане у [[4-вектор]]ній формі рівняння руху зарядженої [[елементарна частинка|частки]] в електромагнітному полі набирає вигляду
== Просторові компоненти 4-вектора ==
:<math> m c \frac{du^i}{ds} = \frac{q}{c}F^{ik}u_k</math>,
де <math> u^k </math> — 4-[[швидкість]], q — [[електричний заряд]] частки, c — [[швидкість світла]], m — [[маса спокою]]. Права частина цього рівняння це [[сила Лоренца]].
Образ контраваріантного 4-вектора <math>a^i</math> в охоплюючому псевдоевклідовому просторі дорівнює:
: <math>(21) \qquad \mathbf{a} = a^i \mathbf{r}_i = a^0 \mathbf{r}_0 + a^1 \mathbf{r}_1 + a^2 \mathbf{r}_2 + a^3 \mathbf{r}_3</math>
Якщо в цьому векторі ми виділимо просторову частину <math>\{ a^1, a^2, a^3 \}</math>, то її образом буде інший вектор охоплюючого простору:
: <math>(22) \qquad \tilde \mathbf{a} = a^1 \mathbf{r}_1 + a^2 \mathbf{r}_2 + a^3 \mathbf{r}_3</math>
який очевидно є (неортогональною) проекцією вектора <math>\mathbf{a}</math> на тривимірний підпростір <math>(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3)</math> паралельно осі часу <math>\mathbf{r}_0</math>.
== Примітки ==
Розглянемо тепер коваріантні компоненти <math>a_i</math> цього самого вектора <math>\mathbf{a}</math>. Ці компоненти є коефіцієнтами при розкладанні вектора <math>\mathbf{a}</math> по дуальному базису <math>\mathbf{r}^i</math>:
<references/>
: <math>(23) \qquad \mathbf{r}^i = g^{ij} \mathbf{r}_j</math>
: <math>(24) \qquad \mathbf{a} = a_0 \mathbf{r}^0 + a_1 \mathbf{r}^1 + a_2 \mathbf{r}^2 + a_3 \mathbf{r}^3</math>
Перший доданок у формулі (24) ортогональний до кожного з трьох векторів <math>(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3)</math>, а тому відкиднувши його, ми здіснимо ортогональну проекцію вектора <math>\mathbf{a}</math> на тривимірну гіперповерхню.
== Диференціювання ==
[[Категорія:теорія відносності]]
Найпростіше обчислюються тривимірні символи Крістофеля <math>\tilde \Gamma_{ij, k}</math> першого роду (з усіма нижніми індексами), оскільки згідно формули (11) просторові компоненти <math>(i, j = 1, 2,3)</math> чотиривимірного метричного тензора <math>g_{ij}</math> дорівнюють зі знаком мінус компонентам тривимірного метричного тензора <math>\gamma_{ij}</math>:
: <math>(25) \qquad \tilde \Gamma_{ij, k} = {1 \over 2} \left ( \partial_i \gamma_{kj} + \partial_j \gamma_{ik} - \partial_k \gamma_{ij} \right ) = - {1 \over 2} \left ( \partial_i g_{kj} + \partial_j g_{ik} - \partial_k g_{ij} \right ) = - \Gamma_{ij, k}</math>
Вже для символів Крістофеля другого роду:
: <math>\tilde \Gamma_{ij}^s = \sum_{k=1}^3 \gamma^{sk} \tilde \Gamma_{ij, k}</math>
співвідношення між тривимірними і чотиривимірними величинами виявляється набагато складнішим, оскільки обернена до (11) матриця має такий доволі складний вигляд:
: <math>(26) \qquad (g^{ij}) = {1 \over D}
\begin{bmatrix} 1 & b^1 & b^2 & b^3 \\ b^1 & b^1 b^1 - D \gamma^{11} & b^1 b^2 - D \gamma^{12} & b^1 b^3 - D \gamma^{13} \\
b^2 & b^2 b^1 - D \gamma^{21} & b^2 b^2 - D \gamma^{22} & b^2 b^3 - D \gamma^{23} \\
b^3 & b^3 b^1 - D \gamma^{31} & b^3 b^2 - D \gamma^{32} & b^3 b^3 - D \gamma^{33} \\
\end{bmatrix}</math>
В цій формулі позначено: <math>\gamma^{ij}</math> - тривимірна матриця, обернена до <math>\gamma_{ij}</math>; <math>b^i = \sum_{j=1}^3 \gamma^{ij} b_j</math> - контраваріантні компоненти тривимірного вектора <math>b_i</math>; і коефіцієнт
:<math>D = a + \mathbf{b}^2 = a + b^1 b_1 + b^2 b_2 + b^3 b_3</math>
</br>
Також, в загальному випадку, складні вирази одержуються між тензорами кривини і лапласіанами (операторами Лапласа-Бельтрамі). Але у випадку плоского простору Мінковського ми маємо просту формулу для лапласіанів. Лапласіан чотиривимірного простору, який називається оператором Даламбера і позначається квадратиком <math>\Box</math>, дорівнює:
: <math>(27) \qquad \Box = {\partial^2 \over \partial (x^0)^2} - {\partial^2 \over \partial (x^1)^2} - {\partial^2 \over \partial (x^2)^2} - {\partial^2 \over \partial (x^3)^2} = {1 \over c^2} {\partial^2 \over d t^2} - \Delta</math>
де через дельту <math>\Delta</math> позначено лапласіан тривимірного простору.
[[en:Four-tensor]]
[[ru:4-тензор]]
[[Категорія:Загальна теорія відносності]]
| 