Диференціальне рівняння з частинними похідними: відмінності між версіями

де ''c'' -— довільна [[константа]] (незалежна від ''x''). Ці два приклади показують, що загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння містить невідомі константи, а загальний розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними містить довільні функції. Розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними, взагалі кажучи, не є єдиним. У загальному випадку на межі даної області задаються додаткові умови. Наприклад, розв'язок вище розглянутого рівняння (функція <math>f(y)</math>) визначається єдиним чином, якщо <math>u</math> визначена на лінії <math>x=0</math>.

Коли всі <math>\Alpha_i = 1</math> або всі <math>\Alpha_i = - 1</math> тобто коли форма ''Q'' відповідно додатно або від'ємно визначена (дефінітна), рівняння називається еліптичним в точці <math>x \in D</math>. Якщо один з коефіцієнтів <math>\Alpha_i</math> від'ємний, а всі інші додатні (або навпаки), то рівняння називається гіперболічним в точці ''х''. У випадку коли <math>l, \, 1 < l < n - 1</math> коефіцієнтів <math>\Alpha_i</math> — додатні, а решта ''n - l'' від'ємні, рівняння називається ультрагіперболічним. Якщо ж хоча би один з цих коефіцієнтів (але не всі) рівний нулю то рівняння називається параболічним в точці ''х''. Кажуть, що у області визначення ''D'' рівняння є рівнянням еліптичного, гіперболічного або параболічного типу, якщо воно відповідно еліптичне, гіперболічне або параболічне у кожній точці цієї області. Еліптичне в області ''D'' рівняння називається рівномірно еліптичним, якщо існують [[дійсне число|дійсні числа]] <math>k_0</math> і ''k_1'' однакового знаку такі, що

У разі, коли всі коефіцієнти ''A'', ''B'', ''C'' -— сталі, рівняння має один і той же тип в усіх точках площини змінних ''x'' і ''y''. У випадку, якщо коефіцієнти ''A'', ''B'', ''C'' неперервно залежать від ''x'' і ''y'', множини точок, в яких дане рівняння відноситься доє гіперболічного (еліптичномуеліптичного), типу, утворює на площині [[відкрита множина|відкриту]] область, що називається гіперболічною (еліптичною), а [[множина]] точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типа, є [[замкнута множина|замкнутою]]. Рівняння називається змішаним, якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. В цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану ''лінією зміни типу'' або ''лінією виродження''.

Дійсна і уявна частини будь-якої [[Голоморфна функція|голоморфної функції]] <math>f</math> комплексної змінної <math>z=x+iy</math> є '''спряжено гармонічними''' функціями: вони обидві задовольняють рівнянню Лапласа і їх [[градієнт]]и ортогональні. Якщо ''f''=''u''+''iv'', то [[умови Коші — Рімана]] затверджуютьстверджують наступне: