Поверхневий інтеграл: відмінності між версіями

(стильові правлення)
== Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду ==
 
\
=== Поверхневі інтеграли 1-го роду ===
 
[[Зображення:Surface integral.png|left|thumb|Рис. 1]]
 
<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>.
 
Нехай деяка функція <math>\!f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>\!S</math>. Хай <math>\!Z</math> позначає деяке розбиття <math>\!S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\!\Delta S_i</math>, <math>\!\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> і <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp;— довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис.&nbsp;1). Число
 
<math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math>
 
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>.
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке<math>\! \delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math> <math>\!|S(Z) - I|<\delta</math>, то <math>\!I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>\!f(x, y, z)</math> по поверхні <math>\!S</math> і записується
 
<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds</math>
 
Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>\!f(x, y, z) \equiv 1</math>
 
число <math>\!I</math> дає площу <math>\!S</math> поверхні <math>\!S</math>.
 
<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:
 
<math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>,
 
причому <math>\!u</math> та <math>\!v</math> пробігають область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>
Анонімний користувач