Максимальний ідеал: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
м робот додав: ko:극대 아이디얼, pl:Ideał maksymalny, ru:Максимальный идеал; косметичні зміни |
||
Рядок 3:
== Властивості ==
* Характеристична властивість максимального ідеалу: ідеал <math>I\,</math> кільця <math>R\,</math> максимальний, тоді і тільки тоді, коли [[фактор-кільце]] <math>R/I\,</math> є [[просте кільце|простим кільцем]].
:Дійсно, якщо кільце <math>R/I\,</math> має власний ідеал <math>M\,</math>, то <math>I+M</math>
'''Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею'''
Рядок 9:
* [[Теорема Круля]]: [[Множина]] всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно ([[лема Цорна|леми Цорна]]) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали , окрім того, для будь-якого власного ідеалу <math>\ I</math> кільця <math>\ R</math> існує максимальний ідеал кільця <math>\ R</math>, який його містить.
* Якщо елемент <math>a\,</math> кільця <math>R\,</math> не [[оборотний елемент|оборотний]], тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент <math>a\,</math> оборотний, всякий ідеал, який його містить, співпадає з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі,
* Якщо всі необоротні елементи кільця <math>R\,</math> утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці <math>R\,</math> немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці <math>R\,</math> існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце <math>R\,</math> називається [[локальне кільце|локальним]].
Рядок 15:
* Для [[комутативність|комутативного]] кільця ідеал <math>I\,</math> є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є [[поле (алгебра)|полем]].
* Якщо кільце <math>\ R</math> має структуру [[банахова алгебра|банахової алгебри]] над полем [[комплексне число|комплексних чисел]] <math>\C</math>, фактор-кільце
* З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є [[простий ідеал|простим]].
Рядок 31:
Для ненульового такого ряду можна вважати <math>a_n \neq 0.</math>
Для <math>f=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{\alpha_n} \in R</math> де <math>0 < \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots </math> і <math>a_1 \neq 0</math> визначимо <math>\deg f = \alpha_1</math>. Очевидно <math>\deg (f \cdot g)=\deg f + \deg g</math> і ''R''
Припустимо ''I'' максимальний ідеал кільця ''R''. Нехай <math>S=\mathbb{R} + R </math> і <math>g \in R \setminus I</math>. Визначимо <math>J=Sg</math>. Тоді ''J'' є ідеалом ''R''. Оскільки <math>\forall h \in J: \ \deg h \geq \deg g,</math> то <math>J \neq R</math>.
Отже ''J'' є власним ідеалом в ''R''. Також <math>I \neq J</math> оскільки <math>g \in J \setminus I</math>. Нехай <math>f \in I</math>. Якщо ''f = 0'', тоді очевидно <math>f \in J</math>.
і звідси <math>g \in Rf \subseteq I</math>, що суперечить визначенню ''g''. Тому <math>\deg g \leq \deg f </math> і
== Література ==
Рядок 44:
[[Категорія:Ідеали]]
[[en:Maximal ideal]]▼
[[ca:Ideal maximal]]
[[de:Maximales Ideal]]
▲[[en:Maximal ideal]]
[[fr:Idéal maximal]]
[[he:אידאל מקסימלי]]
[[ko:극대 아이디얼]]
[[pl:Ideał maksymalny]]
[[ru:Максимальный идеал]]
| |||