Рівняння Шредінгера: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 83:
що і є однією з форм запису рівняння Шредінгера.
Слід відзначити, що приведений простий алгоритм отримання квантового рівняння руху є по своїй суті (в бекграунді) — використанням принципу найменшої дії для фазового простору ''хвилі матерії''.
== Стаціонарне рівняння Шредінгера==
Рівняння, яким визначається [[хвильова функція]] квантової системи в стані, який не змінюється з часом.
: <math>\hat{H}\psi = E\psi </math>,
де <math> \hat{H} </math> — [[гамільтоніан]], <math> \psi </math> — [[хвильова функція]], яку треба визначити, <math> E </math> — це певне дійсне число, яке треба визначити — [[енергія]] [[стаціонарний стан квантової системи|стаціонарного стану]].
Стаціонарне рівняння Шредінгера є [[рівняння Штурма-Ліувіля|рівнянням Штурма-Ліувіля]], із якого потрібно визначити хвильові функції можливих квантових станів і можливі значення енергії <math> E </math>.
Знайдені із стаціонарного рівняння Шредінгера хвильові функції зазвичай індексуються [[квантове число|квантовими числами]].
Визначений [[спектр оператора|спектр]] енергії може бути дискретним чи неперервним.
Стаціонарне рівняння Шредінгера займає центральне місце в квантовій механіці. Воно розв'язується аналітично лише для невеликого числа систем, серед яких більшість модельних. Розвинуто багато методів наближеного розв'язання стаціонарного рівняння Шредінгера, серед яких [[квазікласичне наближення]], [[теорія збурень]], [[варіаційний метод]] а також чисельні методи.
== Задачі [[розсіювання частинок|розсіювання]] ==
Стаціонарне рівняння Шредінгера визначає дискретний енергетичний спектр [[локалізований стан|локалізованих станів]]. Проте воно також
дозволяє розгляд [[делокалізований стан|делокалізованих станів]] у неперервному спектрі. Найважливішими задачами такого роду є
задачі на розсіяння часток одна на одній. При розгляді таких задач енергія E вважається заданою, а потрібно знайти
таку хвильову функцію, яка відповідала б цій енергії й описувала б зіткнення часток, визначаючи [[ймовірність]] розсіяння.
=== Виведення стаціонарного рівняння ===
В рамках аксіоматичного підходу, в якості первинних аксіом можуть виступати не тільки прості поняття (наприклад, фізичні величини: маса, заряд, тощо), проте і ''фізичні закони'', котрі оперуюють простими поняттями (наприклад, ''закони Н'ютона'').
Таким чином, можна припустити, що ''рівняння Шредінгера'' є первинна аксіома, котра не виводиться з інших аксіом, і повинна прийматися на віру, як є. Тоді ввівши нове поняття ''стаціонарності'', ми можемо отримати ''стаціонарне рівняння Шредінгера''. В рамках такого підходу в явному математичному вигляді формулюється поняття ''стаціонарності''.
Дійсно, розглянемо стандартне рівняння Шредінгера з невідомими по замовчуванню ''хвильовими функціями'' (тобто вони не мають ніякого відношення до ''хвиль де Бройля''):
: <math>i\hbar \frac{\partial \Psi (\mathbf{r},t) }{\partial t } = \hat H (\mathbf{r})\Psi (\mathbf{r},t)</math>
Проте і в цьому випадку ми можемо чисто формально з математичної точки зору накласти певні умови на хвильову функцію. Дійсно, припустимо, що хвильова функція рівняння Шредінгера допускає розділення просторових та часових змінних у вигляді:
: <math>\Psi (\mathbf{r},t) = \Psi (\mathbf{r})f(t)</math>
Тоді, підставляючи цю нову функцію в рівняння Шредінгера та позначаючи постійну розділення як <math>W \ </math>, знаходимо:
: <math>i\hbar \frac{\partial f }{\partial t } = Wf</math>
: <math>\hat H (\mathbf{r})\Psi (\mathbf{r}) = W\Psi (\mathbf{r})</math>.
Перше рівняння має тривіальний розв'язок:
: <math>f(t) = C\cdot \exp (-i\frac{Wt}{\hbar})</math>.
Що стосується другого рівняння, то як видно, воно співпадає з рівнянням для ''власних функцій'' оператора Гамільтона <math>\hat H \ </math>.
Якщо позначити ці власні функції через <math>\Psi_n (\mathbf{r})</math>, а власні значення енергії через <math>W_n \ </math> (для визначеності беремо випадок дискретного спектру енергій), то кінцевий розв'язок цього рівняння буде:
<math>\Psi_n (\mathbf{r},t) = \Psi_n (\mathbf{r})\exp (-i\frac{Wt}{\hbar})</math>.
Звідси випливає, що ''стани з визначеним значенням енергії <math>W_n \ </math> гармонічно зв'язані з частотою, яка рівна'':
: <math>\omega_n = \frac{W_n}{\hbar}</math>.
Цей результат розповсюджує ''співвідношення Планка''
: <math>W = \hbar \omega \ </math>,
яке спершу використовувалося тільки для ''вільного руху'', на любі системи. Стан з визначеним значенням енергії і називають ''стаціонарним'', а рівняння на власні значення оператора Гамільтона називають ''рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів''.
=== Виведення із загальних принципів ===
В якості первинних принципів в даному випадку можна взяти ''хвильову функцію де Бройля'' та ''закон збереження енергії''. При цьому не має значення який принцип найменшої дії буде прийматися до уваги (принцип Ферма, Моперт'юї, чи Гамільтона), оскільки він природньо випливає із перших двох постулатів.
Наприклад, при виведенні стандартного ''рівняння Шредінгера'' були використані наступні — ''хвильова функція Шредінгера
: <math>\Psi_S(\mathbf{r},t) = \exp \left(i\left[\frac{(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r})}{\hbar } - \frac{t}{\hbar } (\frac{p^2}{2m_0} + U_{pl})\right]\right)</math>
та ''закон збереження енергії''
: <math>W_{tS} = \frac{p^2}{2m_0} + U_{pl}</math>,
де <math>U_{pl}</math>- потенціальна енергія локальної задачі.
В рамках такого підходу було отримане рівняння Шредінгера у формі:
: <math>i\hbar \frac{\partial \Psi_S}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m_0}\nabla^2\Psi_S + U_{pl}\right)\Psi_S = W_{tS}\Psi_S </math>,
з якої видно, що воно дуже нагадує ''стаціонарний випадок'', де оператор Гамільтона приймає стандартний вигляд:
: <math>\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m_0}\nabla^2\Psi_S + U_{pl}</math>.
Іншими словами, було доведене з первинних принципів не само по собі ''рівняння Шредінгера'' (з довільними хвильовими функціями), а лише його ''стаціонарний варіант'', в якому похідна по часу редукує в тривіальну повну енергію системи.
Ось так просто, можна сказати на рівному місці, і виникла ''проблема стаціонарних станів''.
=== Редукція в ''класичну механіку'' ===
Стаціонарне рівняння Шредінгера може бути редуковане в класичне ''рівняння Гамільтона- Якобі'', на відміну від стандартного рівняння Шредінгера (у всякому разі цього ще ніхто не довів).
Дійсно, ''хвильову функцію Шредінгера'' можна представити у формі:
: <math>\Psi_S (\mathbf{r},t) = \exp \Big(\frac{i}{\hbar} S_0(\mathbf{r},t)\Big)</math>
де <math>S_0 \ </math>- [[дія|редукована дія]]:
: <math>S_0(\mathbf{r},t) = \sigma (\mathbf{r}) - Wt \ </math>
Похідна по часу:
: <math>\frac{\partial \Psi_S}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}W\Psi_S </math>.
Похідні по простору:
: <math>\nabla \Psi_S = \frac{i}{\hbar}\nabla \sigma \Psi_S </math>.
: <math>\nabla^2 \Psi_S = -\frac{1}{\hbar^2}(\nabla \sigma )^2\Psi_S + \frac{i}{\hbar}\nabla^2 \sigma \Psi_S </math>
Тоді рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді:
: <math>i\hbar (-\frac{i}{\hbar})\Psi_S = W\Psi_S = \Big[\frac{1}{2m}(\nabla \sigma )^2 ++ U(\mathbf{r}) - \frac{i\hbar}{2m}\nabla^2 \sigma \Big]\Psi_S </math>
або
: <math>\frac{(\nabla \sigma )^2}{2m} + U(\mathbf{r}) - W -\frac{i\hbar}{2m}\nabla^2 \sigma = 0 </math>,
Оскільки класичне ''рівняння Гамільтона- Якобі'' має вигляд:
: <math>\frac{(\nabla \sigma )^2}{2m} + U(\mathbf{r}) - W = 0 </math>
тому для приведення квантового випадку необхідно виконання умови:
: <math>(\nabla \sigma )^2 \gg \hbar \nabla^2 \sigma </math>.
Враховуючи:
: <math>\mathbf{p} = \nabla \sigma_0</math>
можна переписати умову:
: <math>p^2 \gg \hbar|div \mathbf{p}| </math>.
Більше того, враховуючи:
: <math>\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}</math>,
де <math>k = \frac{2\pi}{\lambda}</math> умова еквівалентності переходу приймає вигляд:
: <math>1 \gg \frac{\hbar|\frac{dp}{dx}|}{p^2} = \frac{1}{2\pi}\frac{\partial \lambda}{\partial x}</math>
або
: <math>\lambda \gg \frac{\lambda }{2\pi}\frac{d\lambda }{dx}</math>.
Тут слід відзначити, що редукція в класичну механіку можлива тільки для стаціонарних станів, по замовчуванню (оскільки тут використана редукована дія!).
=== Проблема стаціонарних станів ===
В чому суть проблеми стаціонарних станів? Як було показано вище, проблема стаціонарних станів виникає тільки при умові виведення ''рівняння Шредінгера'' з первинних принципів. Більше того, показано, що редукція квантового рівняння Шредінгера до класичного рівняння Гамільтона- Якобі можлива тільки для стаціонарного випадку.
Ще більше, всі практичні використання рівняння Шредінгера пов'язані із стаціонарними станами, проте мова завжди йде про загальне рівняння Шредінгера (з невідомою хвильовою функцією).
З подібною ситуацією можна було миритися в 30- 40-і роки, але в 50-ті було необхідно відрефлектувати дану ситуацію. Проте цього не зробили. Звичайно в рамках самої квантової механіки це було зробити не просто, але використовуючи методи ''статистичної фізики'', котра отримала значний імпульс розвитку в 50- ті роки, ця проблема могла бути розв'язана.
Значний імпульс розвитку ''статистична фізика'' отримала в 50- ті роки в зв'язку з інтенсивним розвитком напівпровідникових технологій, основний теоретичний вклад в цю галузь вніс [[Шоклі Вільям Бредфорд|В.Шоклі]]. Дійсно, в рамках статистичної фізики ми маємо тривіальний поділ на ''рівноважні'' та ''нерівноважні'' процеси. Детальна теорія розвинута тільки для ''рівноважних процесів'', а от ''нерівноважна статистична фізика'' до сих пір користується тривіальним розкладом в ряд (типу ряду Тейлора) навколо рівноважної точки.
Проте серед ''нерівноважних процесів'' виділяються осібно т.з. ''стаціонарні нерівноважні процеси''. Наприклад, постійний електричний струм в напівпровідниковому транзисторі моделюється як ''квазістаціонарний процес''. Тобто, з одного боку є рух електронів, що створюють струм, проте швидкість цього руху або постійна, або близька до неї. В стані термодинамічної рівноваги напівпровідник має певну ''енергію Фермі'' (або ''рівень Фермі''). Звичайно, з прикладенням зовнішнього електричного поля цей рівень Фермі зміщується, і в загальному випадку нерівноважного процесу передбачити його поведінку не можливо.
Проте у випадку ''стаціонарних термодинамічних процесів'' стало можливим феноменологічне введення ''квазірівнів Фермі'', котрі вперше ввів в науковий обіг В.Шоклі.
Таким чином, в якості найкращої термодинамічної аналогії ''стаціонарному рівнянню Шредінгера'' і виступає статистичний ''квазірівень Фермі''! З методологічної точки зору ''стаціонарність'' означає не незалежність від ''часу'', а тільки те, що перші похідні від ''фізичної величини'' або постійні, або змінюються з малою амплітудою.
== Рівняння у формі Шоклі ==
| |||