Відмінності між версіями «Дельта-функція Дірака»

нема опису редагування
м (робот додав: hu:Dirac-deltafüggvény)
'''δ-функція''' - — це [[узагальнена функція]], формально визначається як неперервний [[лінійний функціонал]] у просторі [[диференційована функція|диференційовних функцій]].
δ-функція не є функцією в класичному розумінні.
 
* <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1</math>.
* <math>x\delta^\prime(x)=-\delta(x)</math>.
* <math>\delta(f(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|f'(x_k)|}</math>, де <math>x_k</math> &nbsp;— нулі функції <math>f(x)</math>.
 
== Інтегральне представлення ==
 
== Похідна дельта-функції ==
Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції
<math>\delta(x)</math>:
 
в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: <math>F(\delta)=1</math>.
 
Доведено, що похідна [[функція Хевісайда|функції Хевісайда]] дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда &nbsp;— [[первісна]] дельта-функції:
 
: <math>H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} \delta(t)\,dt</math>.
 
Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції
 
: <math>\sqrt{2\pi}H(t)</math>,
 
одержимо її образ у вигляді:
 
== Фізична інтерпретація ==
[[Файл:Dirac distribution CDF.svg|right|thumb|300px|Графік [[Функція Хевісайда|функції Хевісайда]], похідна від якої &nbsp;— дельта-функція]]
[[Файл:Dirac distribution PDF.svg|right|thumb|300px|Графік дельта-функції]]
=== Миттєве прискорення ===
Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.
 
Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:
 
: <math>a(t)=\nu\delta(t-t_a)</math>.
 
 
=== Функція Гріна ===
Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В [[квазікласичне наближення|квазіклачисному наближенні]] <math>h \rightarrow 0</math> хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траекторіях за [[Закони Ньютона|рівняннями Ньютона]]. Через дельта-функцію, також записуєтся [[функція Гріна]] лінійного оператора <math>L</math>, що діє на узагальнені функції над [[многовид|многовидом]] <math>M</math> в точці <math>x_0</math>. Рівняння має вигляд <math>(\nabla^2f)(x)= \delta (x-x_0)</math>.
 
де <math>\nabla^2</math> &nbsp;— [[оператор Лапласа]].
 
Важливо відмітити наступну формулу
: <math>\nabla^2 G=-4\pi\delta</math>,
 
де
 
: <math>G = \frac{1}{r}</math> &nbsp;— [[функція Гріна]].
 
Цей вираз випливає з того, що <math>\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)</math> веде себе подібно до дельта-функції. <ref>[http://promsiu.narod.ru/files/belova/19.doc Доведення властивостей функції Гріна для точкового джерела] </ref>. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для [[скалярний потенціал|скалярного потенціала]]: