Нерівність Коші — Буняковського: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
→Лінійний простір \ C[a;b]: оформлення |
|||
Рядок 57:
В лінійному просторі <math>\ \mathbb{R}^n</math> з введеним скалярним добутком <math> \langle x,y \rangle=\sum\limits_{i=1}^{n} x_iy_i </math> нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так
:<math> \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \left( x_i y_j - x_j y_i \right)^2
= \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{j=1}^n y_j^2 + \sum_{j=1}^n x_j^2 \sum_{i=1}^n y_i^2
Рядок 64:
або після зведення одинакових доданків
:<math> \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left( x_i y_j - x_j y_i \right)^2
= \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 . </math>
Рядок 70:
Оскільки ліва чатина останьо тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Боняковського в [[Векторний простір|лінійному просторі]] <math>\ \mathbb{R}^n</math>
:<math> \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \geq 0. </math>
== Найбільш відомі застосування нерівності Коші-Боняковського ==
| |||