Вікіпедія

Диференціальне рівняння з частинними похідними: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Немає опису редагування
Xqbot (обговорення | внесок)
Боти
300 161 редагування
м робот змінив: tr:Kısmi diferansiyel denklem; косметичні зміни
Рядок 20:
 
== Визначення ==
Диференціальним рівнянням з частинними похідними називається рівняння виду
 
<math>F(x_1 ,x_2 , \ldots ,x_m , u ,u_{x_1} ,\ldots, u_{x_m} ,\ldots,u_{x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_m^{a_m}}^{(k)}, \ldots) = 0,</math>
Рядок 26:
де ''F'' — задана дійсна функція точки <math>(x_1 ,x_2 ,...,x_m )</math> області ''D'' [[евклідовий простір|евклідового простору]] <math>E_m, \, m \geqslant 2</math> і дійсних змінних <math>u_{x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_m^{a_m}}^{(k)} = \frac{{\partial \;^k u(x_1^{} ,x_2,...,x_m)}}{{\partial \;x_1^{\alpha _1} \partial \;x_2^{\alpha _2} ...\partial \;x_m^{\alpha _m} }}.</math>
(''u(x)'' - невідома функція) з невід'ємними [[ціле число|цілочисловими]] індексами <math>\sum\limits_{i = 1}^m {\alpha _i = k\,\,\;(k = 0, \ldots n - } </math> і принаймні одна з [[похідна|похідних]] функції ''F'' по змінній, що відповідає найвищому порядку часткових похідних, відмінна від нуля; [[натуральне число]] ''m'' називається порядком рівняння.
Визначена у області ''D'' задання рівнянням функція ''u(x)'', [[неперервна функція|неперервна]] разом з своїми частинними похідними, що входять в це рівняння, і що обертає його в тотожність, називається регулярним розв'язком. Разом з регулярними розв'язками в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними важливе значення мають розв'язки, що перестають бути регулярними поблизу ізольованих точок або [[многовид]]ів особливого вигляду: до них відносяться зокрема, елементарні (фундаментальні) розв'язки. Вони дозволяють будувати широкі класи регулярних розв'язків (так званих потенціалів) і встановлювати їх структурні і якісні властивості.
 
У випадку неперервності часткових похідних ''F'' відносно змінних <math>u_{x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_m^{a_m}}^{(n)}</math> (тобто відносно часткових похідних найвищого порядку), важливе значення відіграє форма порядку ''m'':
Рядок 53:
де коефіцієнти <math>\Alpha_i \quad i=1, \ldots, n,</math> приймають значення 1, -1, 0, причому число від'ємних коефіцієнтів (індекс інерції) і число нульових коефіцієнтів (дефект форми) є афінними інваріантами.
 
Коли всі <math>\Alpha_i = 1</math> або всі <math>\Alpha_i - 1</math> тобто коли форма ''Q'' відповідно додатно або від'ємно визначена (дефінітна), рівняння називається еліптичним в точці <math>x \in D</math>. Якщо один з коефіцієнтів <math>\Alpha_i</math> від'ємний, а всі інші додатні (або навпаки), то рівняння називається гіперболічним в точці ''х''. У випадку коли <math>l, \, 1 < l < n - 1</math> коефіцієнтів <math>\Alpha_i</math> — додатні, а решта ''n - l'' від'ємні, рівняння називається ультрагіперболічним. Якщо ж хоча би один з цих коефіцієнтів (але не всі) рівний нулю то рівняння називається параболічним в точці ''х''. Кажуть, що у області визначення ''D'' рівняння є рівнянням еліптичного, гіперболічного або параболічного типу, якщо воно відповідно еліптичне, гіперболічне або параболічне у кожній точці цієї області. Еліптичне в області ''D'' рівняння називається рівномірно еліптичним, якщо існують [[дійсне число|дійсні числа]] <math>k_0</math> і ''k_1'' однакового знаку такі, що
:<math>k_0\sum\limits_{i = 1}^m \lambda_i^2 \leqslant Q(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m) \leqslant k_1 \sum\limits_{i = 1}^m \lambda_i^2</math>
для всіх <math>x \in D</math>.
Коли в різних частинах області ''D'' рівняння належить до різних типів, то воно називається рівнянням змішаного типу в цій області.
Рядок 70:
# <math>D = B^2 - AC \, = 0</math> — [[Параболічне рівняння]] (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти ''A'', ''B'', ''C'' не рівні одночасно нулю).
 
У разі, коли всі коефіцієнти ''A'', ''B'', ''C'' - сталі, рівняння має один і той же тип в усіх точках площини змінних ''x'' і ''y''. У випадку, якщо коефіцієнти ''A'', ''B'', ''C'' неперервно залежать від ''x'' і ''y'', множини точок, в яких дане рівняння відноситься до гіперболічного (еліптичному), типу утворює на площині [[відкрита множина|відкриту]] область, що називається гіперболічною (еліптичною), а [[множина]] точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типа, є [[замкнута множина|замкнутою]]. Рівняння називається змішаним, якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. В цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану ''лінією зміни типу'' або ''лінією виродження''.
 
== Існування і єдиність розвязку ==
Рядок 77:
Існує загальна теорема ([[теорема Коші-Ковалевськоі]]), яка стверджує, що [[задача Коші]] для будь-якого рівняння з частинними похідними, [[аналітична функція|аналітичного]] щодо невідомих функцій і їх похідних має єдиний аналітичний розвязок. Проте, існують приклади лінійних рівнянь з частинними похідними, що не мають розв'язку, коефіцієнти яких мають похідні всіх порядків. Навіть якщо розв'язок існує і є єдиним, він може мати небажані властивості.
 
Розглянемо послідовність задач Коші (залежну від ''n'') для [[рівняння Лапласа|рівняння Лапласа]]:
: <math> \frac{\part^2 u}{\partial x^2} + \frac{\part^2 u}{\partial y^2}=0,\, </math>
 
Рядок 283:
 
== Див. також ==
* [[Диференціальне рівняння]]
* [[Звичайне диференціальне рівняння]]
* [[Математична фізика]]
 
== Література ==
 
* Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.
* Гончаренко В. М. Основи теорії рівнянь з частинними похідними. — К., 1996
* Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964;
* Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.:Высш. шк., 1977. — 432 с.
* Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2002. — 336 с.
* Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
* Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 08218077220-8218-0772-2 .
* John, F. (1982), Partial Differential Equations (4th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 03879060960-387-90609-6 .
* Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 15848829991-58488-299-9 .
* Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2004), Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 15848835531-58488-355-3 .
 
[[Категорія:Математична фізика]]
Рядок 328:
[[sv:Partiell differentialekvation]]
[[ta:பகுதி வகையீட்டுச் சமன்பாடு]]
[[tr:Kısmi diferansiyel denklemlerdenklem]]
[[vi:Phương trình vi phân riêng phần]]
[[zh:偏微分方程]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Диференціальне_рівняння_з_частинними_похідними