Гамма-функція: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
[[Файл:Gamma plot.svg|thumb|Гамма-функція на дійсній частині області значень]]
'''Гама-функція''' — [[спеціальні функції|спеціальна функція]], яка визначається формулою:
: <math> \Gamma(z) = \int\limits_0^\infty{s^{z-1} e^{-s} ds} = \int\limits_0^1{\left(\ln\frac{1}{s}\right)^{z-1}\,ds}</math>
Гама-фукнція є узагальненням поняття [[факторіал]]а, оскільки для [[натуральне число|натуральних]] n
: <math> \Gamma(n+1) = n! \,</math>.
== Множина визначення ==
Інтеграл, яким визначається гама-функція є [[невластивий інтеграл|невластивим]], і збігається при <math> \text{Re } z > 0 \!</math>. Однак, використовуючи [[рекурентне співвідношення]]
: <math> \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) \, </math>
її можна продовжити на всю комплексну площину за винятком точок <math> z = - n \,</math>, де <math> n = 0, 1, 2 \ldots </math> .
== Часткові значення ==
Особливо важливі часткові значення гама-функції в певних точках
: <math> \Gamma(1) = 0! = 1 \,</math>
: <math> \Gamma(2) = 1 \, </math>
: <math> \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} </math>
: <math> \Gamma(3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} </math>
: <math> \Gamma(n) = (n-1)! \!</math>
: <math> \Gamma(n)\,\Gamma(1-n) = \frac{\pi}{\sin{n\pi}} </math>
: <math> \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = 1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-3)(2n-1)\frac{\sqrt{\pi}}{2^n} </math>, де <math>n\!</math> [[цілі числа|ціле]] [[додатні числа|додатнє]] число
== Застосування для [[Формула Стірлінга|формули Стірлінга]] ==
Рядок 31:
Наступний розклад в ряд гама функції для великих [[Цілі числа|цілих]] <math>x\!</math> дає [[асимптотичний розклад|асимптотичний]] вираз для [[формула Стірлінга|формули Стірлінга]], що використовується для обчислення [[факторіал]]у [[Цілі числа|цілого числа]].
: <math>\Gamma(n+1)= n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4}+ O\left(n^{-5}\right)\right)</math></center>
== Історія ==
| |||