Критерій Дарбу: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
В аналізі функцій дійсних змінних, '''Інтеграл Дарбу''' або '''Сума Дарбу''' — це одне з можливих визначень інтегралу функції. Інтеграли Дарбу еквівалентні [[Інтеграл Рімана|інтегралам Рімана]]. Це означає, що функція є інтегрованою за Дарбу тоді і тільки тоді якщо вона інтегрована за Ріманом і значення двох інтегралів, якщо вони існують, є однаковими. Інтеграли Дарбу є простішими щодо їх визначення, ніж інтеграли Рімана. Інтеграли Дарбу отримали свою назву від імені їх відкривача, [[Ґастон Дарбу|Ґастона Дарбу]].
== Сума Дарбу ==
=== Визначення ===
[[Файл:Darboux.svg|frame|Нижня (зелена) і верхня (сіра) суми Дарбу на 4 відрізках розбиття]]
Нехай на відрізку <math>[a,b]</math> визначена [[дійсне число|дійсна]] [[Функція (математика)|функція]] <math>f</math>.
Рядок 12 ⟶ 14:
Нарешті, розглянемо суми
: <math>s\left( f,\tau \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{m}_{k}}\left( {{x}_{k}}-{{x}_{k-1}} \right)}</math>
: <math>S\left( f,\tau \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{M}_{k}}\left( {{x}_{k}}-{{x}_{k-1}} \right)}</math>
=== Властивості сум Дарбу ===
Рядок 27 ⟶ 29:
* Якими б не були два розбиття одного й того самого відрізка, нижня сума Дарбу на одному розбитті не перевищує верхньої суми Дарбу на іншому розбитті.
: <math>\forall {{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}\ s\left( f,{{\tau }_{1}} \right)\le S\left( f,{{\tau }_{2}} \right)</math>,
: '''Висновок:''' нижні суми Дарбу обмежені, зверху, а верхні
* Нехай <math>{{I}^{*}}\left( f \right)</math> і <math>{{I}_{*}}\left( f \right)</math>
: <math>\forall \tau \ s\left( f,\tau \right)\le {{I}_{*}}\left( f \right)\le {{I}^{*}}\left( f \right)\le S\left( f,\tau \right)</math>;
* Нехай <math>\sigma(f, \tau, \zeta)</math>
: <math>s(f, \tau) = \inf_{\zeta} \sigma(f, \tau, \zeta)</math>,
: <math>S(f, \tau) = \sup_{\zeta} \sigma(f, \tau, \zeta)</math>.
Рядок 37 ⟶ 39:
Верхнім інтегралом Дарбу називають число
: <math>{{I}^{*}}\left( f \right)=\inf \left\{ S\left( f,\tau \right):\tau \right\}</math>,
де <math>\tau </math>
Відповідно нижнім інтегралом Дарбу називають:
Рядок 47 ⟶ 49:
Наведені твердження надані для функції одної змінної.
Нехай дійсна функція <math>f\left( x \right)</math> визначена і обмежена на відрізку <math>\left[ a,b \right]</math>. Нехай <math>{{I}^{*}}\left( f \right)</math> і <math>{{I}_{*}}\left( f \right)</math>
* <math>f\left( x \right)</math> [[Інтеграл Рімана|інтегровна за Ріманом]] на відрізку <math>\left[ a,b \right]</math>,
* <math>{{I}^{*}}\left( f \right)={{I}_{*}}\left( f \right)=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}</math>,
* <math>{{\forall }_{\varepsilon >0}}\ {{\exists }_{\delta \left( \varepsilon \right)}}:\ {{\forall }_{\tau :\Delta \tau <\delta \left( \varepsilon \right)}}\ S\left( f,\tau \right)-s\left( f,\tau \right)<\varepsilon </math>, де <math>\tau </math> і <math>\Delta \tau </math>
== Зовнішні посилання ==
* {{MathWorld|urlname=DarbouxIntegral |title=Інтеграл Дарбу}}
| |||