Відмінності між версіями «Універсальна множина»

нема опису редагування
'''Універсальна множина''' (універсум)  — в [[теорія множин|теорії множин]] така множина ''U'', для якої [[перетин множин|перетин]] цієї множини з будь-якою множиною ''X'' співпадає з цією множиною ''X''. Універсальна множина єдина.
 
Формально: ''U'' - — ''універсальна множина'' ⇔ ∀''X'': ''X''∩''U''=''X''.
 
Таким чином, будь-яка множина ''X'' повністю міститься в універсальній множині ''U''. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини ''U'', то сама ця множина ''U'' називається універсальною множиною.
 
Також для будь-якої множини ''X'' справедливо: ''X''∪''U''=''U''.
 
== Властивості універсальної множини ==
* Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.
*: <math>\forall a \colon a \in U</math>
* Зокрема, універсальна множина містить сама себе в якості одного з елементів.
*: <math>U \in U</math>
* Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.
*: <math>\forall A \colon A \subseteq U</math>
* Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.
*: <math>U \subseteq U</math>
* [[Об'єднання множин|Об'єднання]] універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.
*: <math>\forall A \colon U \cup A = U </math>
* Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
*: <math>U \cup U = U</math>
* [[Перетин множин|Перетин]] універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.
*: <math>\forall A \colon U \cap A = A</math>
* Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
*: <math>U \cap U = U</math>
* [[Різниця множин|Виключення]] універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює [[Порожня множина|порожній множині]].
*: <math>\forall A \colon A \setminus U = \varnothing</math>
* Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.
*: <math>U \setminus U = \varnothing</math>
* Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює [[доповнення (теорія множин)|доповненню]] цієї множини.
*: <math>\forall A \colon U \setminus A = \overline{A}</math>
* Доповненням універсальної множини є порожня множина.
*: <math>\overline{U} = \varnothing</math>
* [[Симетрична різниця]] універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.
*: <math>\forall A \colon U \triangle A = \overline{A}</math>
* Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.
*: <math>U \triangle U = \varnothing</math>
 
== Див. також ==
* [[Аксіомактика теорії множин]]
* [[Парадокс Рассела]]
 
[[Категорія:Теорія множин]]