База топології: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м Автовиправлення |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Базис топології''' — [[множина]] <math>\mathfrak{B}</math> [[відкрита множина|відкритих підмножин]] X така, що кожна відкрита множина <math>G\subset X</math> є [[об'єднання множин|об'єднанням]] елементів <math>U\subset \mathfrak{B}</math>. Поняття базису — одне з основних в топології. У багатьох питаннях, що стосуються відкритих множин деякого простору, досить обмежитися розглядом елементів його базису. Простір може мати багато базисів, найбільший з яких утворює множина всіх відкритих множин.
Часто базис топології визначають для того, щоб ввести топологію на множині X, коли вона ще не була задана. Для цього достатньо, щоб система множин <math>\mathfrak{B}</math>, що претендує бути базою нової топології, покривала простір X і була б замкнутою щодо операції перетину (цю властивість іноді додають до визначення бази топології). Якщо така система множин задана, то відкритими множинами простору X приймаються всі підмножини в X, що є об'єднанням довільних елементів базису.▼
▲Часто базис топології визначають для того, щоб ввести топологію на множині X, коли вона ще не була задана. Для цього достатньо, щоб система множин <math>\mathfrak{B}</math>, що претендує бути базою нової топології, покривала простір X і була б замкнутою щодо операції [[перетин множин|перетину]] (цю властивість іноді додають до визначення
== Приклади ==
* Якщо X і Y — [[топологічний простір|топологічні простори]] з базисами топологій <math>\mathfrak{B}_X</math> і <math>\mathfrak{B}_Y</math>, тоді топологія на [[декартовий добуток|декартовому добутку]] X\times Y задається за допомогою бази
<math>\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}</math>
При цьому топологія на <math>X\times Y</math> не залежатиме від того, які базиси просторів X і Y використовуються для її завдання. Така топологія називається (стандартною) топологією [[декартовий добуток|декартового добутку]] топологічних просторів.
* Топологія простору [[дійсні числа|дійсних чисел]] <math>\R</math> задається системою всіх інтервалів (а,b), яка складає
* Прикладом множини відкритих множин, що не є базисом може бути наприклад множина інтервалів виду (−∞, a) і (a, ∞) де ''a'' — деяке дійсне число.
Рядок 17 ⟶ 16:
== Пов'язані визначення ==
* Мінімум серед [[потужність множини|потужностей]] всіх базисів називається вагою топологічного простору X.
:* В просторі ваги <math>\tau</math> існує усюди [[щільна множина]] потужності <math>\leqslant \tau</math>.
:* Простори із
* Локальною базою простору X в точці <math>x \in X</math> (базою точки x) називається множина <math>\mathfrak{B}(x)</math> його відкритих множин, що задовольняє властивість: для будь-якого околу O<sub>x</sub> точки x знайдеться елемент <math>V \in \mathfrak{B}(x)</math> такий, що <math>x \in V \subset O_x</math>.
:* Простори, що мають зліченну локальну базу в кожній точці, називаються просторами з першою аксіомою зліченності.
* Нехай <math>\mathfrak{m},\mathfrak{n}</math> — деякі [[кардинальне число|кардинальні числа]]. Базис <math>\mathfrak{B}</math> простору X називається <math>\mathfrak{m}</math>-точковим, якщо кожна точка <math>x \in X</math> належить не більше ніж <math>\mathfrak{m}</math> елементам сімейства <math>\mathfrak{B}</math>. Зокрема, при <math>\mathfrak{m}=1</math> база називається диз'юнктивною, при скінченному <math>\mathfrak{m}</math> — точково скінченною, при <math>\mathfrak{m}=\mathcal{X}_0</math> — точково зліченною.
== Властивості ==
* Множина <math>\mathfrak{B}</math> відкритих в X множин є базисом тоді і тільки тоді, коли вона є локальним базисом кожної його точки <math>x \in X</math>.
== Варіації і узагальнення ==
| |||