Аналітична функція: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 7:
Дійсна функція <math> \displaystyle f(x)</math> дійсного аргументу <math>\displaystyle x</math> називається ''аналітичною функцією'' у точці <math>\displaystyle x</math> числової осі, якщо можна вказати такий окіл <math>\displaystyle (x_0-h, x_0+h)</math> точки <math>\displaystyle x_0</math>, в якому <math>\displaystyle f(x)</math> визначена і може бути виражена формулою виду:
:<math>f(x)=\sum_{k=1}^\infty {a_k (x-x_0)^k}</math>
де <math>\displaystyle a_k</math> — [[дійсні числа]].
Можна показати, що <math>\displaystyle a_0=f(x_0)</math>, <math>\displaystyle a_k={1 \over {k!}} {f^k (x_0)}</math>, де <math>\displaystyle k=1, 2, 3, 4, \dots</math>
(дивись [[Тейлора ряд]]). ▼
Функція, аналітична в кожній точці інтервалу (a, b), наз. А. ф. на цьому інтервалі. Така функція необмежено диференційована на (а, b), але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції▼
=== Зауваження ===▼
▲Функція, аналітична в кожній точці інтервалу <math>\displaystyle(a, b)</math>,
:<math>f(x)=10^{1 \over x^2}</math> (-1<x<1)
:<math>f^{k}(0)=\lim_{n \to 0} {f^{k}(x)}=0 \qquad
де
Рядок 33 ⟶ 36:
(див. [[Тейлора ряд]]).
▲=== Зауваження ===
Функція, аналітична в кожній точці якоїсь області <math>G</math> комплексної числової площини, наз <tt>А. ф. в області G</tt>. Виявляється, що аналітичність f(z) в області G є наслідком звичайної її диференційовності в G А. ф. кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області G функції тісно пов'язані з гармонічними функціями в цій області, що часто зустрічаються при розв'язанні т. з. плоских задач матем фізики. Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.
| |||