Відмінності між версіями «Загальна лінійна група»

м
нема опису редагування
м
'''Загальна лінійна група''' — в [[математика|математиці]] [[група (алгебра)|група]] всіх [[оберненаоборотна матриця|оборотних квадратних матриць]] над деяким [[Кільцекільце (алгебра)|кільцем]].
 
== Формальне визначення ==
Якщо ''V'' — [[векторний простір]] над [[поле (алгебра)|полем]] F, то загальною лінійною групою лінійного простру <math>\operatorname{GL}(V)</math> або <math>\operatorname{Aut}(V)</math> називається група всіх [[автоморфізм]]ів ''V'', тобто множина всіх [[бієкція|бієктивних]] [[лінійне відображення|лінійних відображень]] <math>V \to V</math> де груповою операцією є [[композиція функцій|композиція]] відображень .
 
Якщо простір ''V'' має скінченну розмірність <math>\dim V = n</math>, то <math>\operatorname{GL}(V)</math> і <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> [[ізоморфізм|ізоморфні]]. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів ''V''. Якщо <math>(e_1, \dots, e_n)</math> — базис, і автоморфізмів <math>\operatorname{GL}(V)</math>, маємо
:<math>Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j</math>
для деяких констант <math>a_{jk} \in K</math>. Матриця, відповідна ''Т'' має елементами <math>a_{jk}</math>.
== Властивості ==
 
* Якщо ''n > 2'', то група <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> не є [[абелева група|абелевою]].
* <math>\operatorname{SL}(n, K)</math> є [[нормальна підгрупа|нормальною підгрупою]] <math>\operatorname{GL}(n, K)</math>.
* Нехай <math>K^*</math> буде мультиплікативною групою поля ''K'', тоді визначник є [[гомоморфізм груп|гомоморфізмом груп]]:
*: <math>\det\colon \operatorname{GL}(n, K) \to K^*</math>.
* <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> є напівпростим добутком <math>\operatorname{SL}(n, K) \rtimes K^*</math>