Відмінності між версіями «Область цілісності»

нема опису редагування
'''Область цілісності'''  — поняття [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]: [[асоціативність|асоціативне]] [[комутативність|комутативне]] [[кільце (алгебра)|кільце]] з [[одиниця|одиницею]], в якому 0≠1 і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова 0≠1 виключає з розгляду тривіальне кільце {0}.
 
Еквівалентне визначення: область цілісності - це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] {0} є [[простий ідеал|простим]].
 
== Приклади ==
 
* Простий приклад області цілісності - кільце [[цілі числа|цілих чисел]] <math>\Z</math>.
* Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка [[Кільце Артіна|артинова]] область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є [[поле Галуа|скінченними полями]].
* Кільце [[многочлен]]ів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце <math>\Z[x]</math> многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце <math>\R[x,y]</math> многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
* Множина дійсних чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math> є підкільцем поля <math>\R</math>, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про [[множина|множину]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] виду <math>a+bi</math>, де <math>a</math> і <math>b</math> цілі.
* Нехай <math>U</math> - [[зв'язність|зв'язна]] [[відкрита множина|відкрита]] підмножина [[комплексна площина|комплексної площини]] <math>\C</math>. Тоді кільце <math>H(U)</math> всіх [[голоморфна функція|голоморфних функцій]] <math>f:U\rightarrow\C</math> буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного [[многовид]]у.
* Якщо <math>K</math>&nbsp;- комутативне кільце, а <math>I</math>&nbsp;- ідеал в <math>K</math>, то [[фактор-кільце]] <math>K/I</math> цілісне тоді і тільки тоді, коли <math>I</math> - простий ідеал.
* Кільце [[p-адичні числа|p-адичних]] цілих чисел.
 
* Якщо <math>A</math> — комутативне кільце з одиницею і <math>I</math> — деякий [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] <math>A</math>, то кільце <math>A/I</math> є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал <math>I</math> є [[простий ідеал|простим]].
* Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його [[спектр кільця|спектр]] є незвідним топологічним простором.
* Прямий твірдобуток кілець ніколи не буває областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
* Тензорний твірдобуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
* [[Характеристика кільця|Характеристика]] області цілісності є або нулем, або [[Просте число|простим числом]].