Відмінності між версіями «Числовий ряд»

84 байти вилучено ,  11 років тому
м
нема опису редагування
м
'''Числовий ряд''' — [[ряд (математика)|ряд]], елементами якого є [[числа]].
== Основні означення ==
 
Нехай <math>\{a_{n}a_n \colon: n \geqslantin \N 1\}</math> — деяка [[Числовачислова послідовність|послідовність дійсних чисел]]. Для кожного <math>n \in \mathbb{N}</math> визначена скінченна сума цих елементів
:<math>S_{n}S_n :\,= a_{1}a_1 + a_{2}a_2 + \cdots + a_{n}a_n.</math>.
 
'''Означення.''' Дві [[Числова послідовність|числові послідовності]] <math>\{a_{n}a_n \colon: n \geqslant1in \N\}</math> та <math>\{S_{n}S_n \colon: n \geqslantin 1\N\}</math> називаються '''числовим рядом''' иі позначаються
<math>S_{n} :\,= a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}</math>.
:<math>a_{1}a_1 + a_{2}a_2 + \cdots +a_{n}a_n + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}a_n</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)
 
Число <math>\ a_n</math> називається '''n-тим членом''', а число <math>\ S_n</math> — '''n-тою частковою сумою ряду'''.
'''Означення.''' Дві [[Числова послідовність|числові послідовності]] <math>\{a_{n} \colon n \geqslant1\}</math> та <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> називаються ''числовим рядом'' и позначаються
 
Число <math>a_{n}</math> називається ''n-тим членом'', а число <math>S_{n}</math> — ''n-тою частковою сумою ряду'' (1). Якщо [[числова послідовність]] часткових сум <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1{S_n\}</math> збігається до деякого дійсного числа <math>\ S</math> (див. [[Границя числової послідовності]]), то числовий ряд (1) називається '''збіжним''', а число <math>\ S</math> — ''називається сумою'' цього ряду, і позначається
<math>a_{1} + a_{2} + \cdots +a_{n} + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)
:<math>S = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}</math>.
 
Якщо послідовністьж <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> скінченоїскінченної границі не маєіснує, то числовий ряд (1) називається '''розбіжним'''.
Число <math>a_{n}</math> називається ''n-тим членом'', а число <math>S_{n}</math> — ''n-тою частковою сумою ряду'' (1). Якщо [[числова послідовність]] часткових сум <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> збігається до деякого дійсного числа <math>S</math>, то числовий ряд (1) називається ''збіжним'', а число <math>S</math> — ''сумою'' цього ряду, позначається
 
<math>S = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}</math>.
 
Якщо послідовність <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> скінченої границі не має, то числовий ряд (1) називається ''розбіжним''.
 
== Теореми ==
'''Теорема 01.'''
Якщо числовий ряд
 
<math>\vartriangleright</math> Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math>. <math>\vartriangleleft</math>
 
== Дивись також ==
* [[Ознаки збіжності]]
 
== Література ==