Стохастичне числення Іто: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Створена сторінка: '''Числення Іто''' —математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими проц... |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Числення Іто'''
: <math>Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,</math>
де <math>X</math> — броунівський рух або, в більш загальному формулюванні, [[напівмартингал]].
Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну [[Варіація функції|варіацію]] на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі [[Інтеграл Рімана — Стілтьєса|інтеграла Рімана — Стілтьєса]]. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо
<!--
The prices of stocks and other traded financial assets can be modeled by stochastic processes such as Brownian motion or, more often, [[geometric Brownian motion]] (see [[Black-Scholes]]). Then, the Itō stochastic integral represents the payoff of a continuous-time trading strategy consisting of holding an amount ''H<sub>t</sub>'' of the stock at time ''t''. In this situation, the condition that ''H'' is adapted corresponds to the necessary restriction that the trading strategy can only make use of the available information at any time. This stops unlimited gains from being possible by high frequency trading, buying the stock just before each uptick in the market and selling before each downtick. Similarly, the condition that ''H'' is adapted implies that the stochastic integral will not diverge when calculated as a limit of [[Riemann sum]]s.
Рядок 20:
-->
== Інтегрування
: <math>\int\limits_{0}^{t} H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).</math>
<!--
Рядок 122:
-->
==
=== Локальні
<!--
An important property of the Itō integral is that it preserves the [[local martingale]] property. If ''M'' is a local martingale and ''H'' is a locally bounded predictable process then ''H'' · ''M'' is also a local martingale.
Рядок 133:
-->
=== Квадратично інтегровні
: <math>\mathbb{E}\left((H\cdot M_t)^2\right)=\mathbb{E}\left(\int\limits_0^t H^2\,d[M]\right).</math>
<!--
Рядок 142:
-->
=== ''p''-
<!--
For any ''p'' > 1, and bounded predictable integrand, the stochastic integral preserves the space of ''p''-integrable martingales. These are càdlàg martingales such that E(|''M<sub>t</sub>''|<sup>''p''</sup>) is finite for all ''t''.
Рядок 178:
== Див. також ==
* [[
* [[інтеграл Стратоновича]]
Рядок 195:
* Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.
[[Категорія:
[[Категорія:Теорія ймовірностей]]
{{translate}}
|