Відмінності між версіями «Стохастичне числення Іто»

нема опису редагування
(Створена сторінка: '''Числення Іто''' —математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими проц...)
 
'''Числення Іто''' —математична— математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як [[броунівський рух]] (або [[вінерівсткийвінерівський процес]]). Названа в честь творця, японскогояпонського математика [[Іто Кійоси|Кійосі Іто]]. Часто застосовується в [[финансовафінансова математика|финансовійфінансовій математиці]] і теорії [[стохастичне диференціальне рівняння|стохастичних диференціальних рівнянь]]. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто
: <math>Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,</math>
де <math>X</math> — броунівський рух або, в більш загальному формулюванні, [[напівмартингал]].
Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну [[Варіація функції|варіацію]] на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі [[Інтеграл Рімана — Стілтьєса|інтеграла Рімана — Стілтьєса]]. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітітипомітити, що підінтегральна функція <math>H</math> є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу <math>t</math> його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту <math>t</math>.
<!--
The prices of stocks and other traded financial assets can be modeled by stochastic processes such as Brownian motion or, more often, [[geometric Brownian motion]] (see [[Black-Scholes]]). Then, the Itō stochastic integral represents the payoff of a continuous-time trading strategy consisting of holding an amount ''H<sub>t</sub>'' of the stock at time ''t''. In this situation, the condition that ''H'' is adapted corresponds to the necessary restriction that the trading strategy can only make use of the available information at any time. This stops unlimited gains from being possible by high frequency trading, buying the stock just before each uptick in the market and selling before each downtick. Similarly, the condition that ''H'' is adapted implies that the stochastic integral will not diverge when calculated as a limit of [[Riemann sum]]s.
-->
 
== Інтегрування броуновськогоброунівського руху ==
: <math>\int\limits_{0}^{t} H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).</math>
<!--
-->
 
== МартbнгалиМартингали-інтегратори ==
 
=== Локальні мартbнгалимартингали ===
<!--
An important property of the Itō integral is that it preserves the [[local martingale]] property. If ''M'' is a local martingale and ''H'' is a locally bounded predictable process then ''H'' &middot; ''M'' is also a local martingale.
-->
 
=== Квадратично інтегровні мартbнгалимартингали ===
: <math>\mathbb{E}\left((H\cdot M_t)^2\right)=\mathbb{E}\left(\int\limits_0^t H^2\,d[M]\right).</math>
<!--
-->
 
=== ''p''-интегральніінтегральні мартbнгалимартингали ===
<!--
For any ''p'' > 1, and bounded predictable integrand, the stochastic integral preserves the space of ''p''-integrable martingales. These are càdlàg martingales such that E(|''M<sub>t</sub>''|<sup>''p''</sup>) is finite for all ''t''.
 
== Див. також ==
* [[ВінерівскийВінерівський процес]]
* [[інтеграл Стратоновича]]
 
* Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.
 
[[Категорія:ВмпадковіТеорія процесвипадкових процесів]]
[[Категорія:Теорія ймовірностей]]
{{translate}}