|
'''Формула Іто''' — формула заміни змінної у стохастичному диференціальному рівнянні. Автор формули [[Іто Кійосі|Іто Кійосі]] - японский математик-статистик.
В [[математика|математиці]] '''Лема Іто''' використовується в [[Теорія випадкових процесів|стохастичному аналізі]] для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є [[випадковий процес]]. Назву отримала на честь японського математика [[Кійоші Іто|Кійоші Іто]]. Лема є аналогом правила [[диференціювання складної функції]] в звичайному [[математичний аналіз|математичному аналізі]]. Її найкраще можна запам'ятати використовуючи розклад функції в [[ряд Тейлора]] до другого степеня по випадковому компоненту функції. Результат широко використовується у фінанасовій математиці зокре у [[формула Блека-Шоуза|формулі Блека-Шоуза]] для оцінки вартості [[кол опціон|кол опціонів]]. Формулу іноді називають Теоремою Іто-Добліна, на честь Вольвганга Добліна. Який також вивів формулу, але його записки були знайдені і оприлюднені тільки в 2000 році.<ref>[http://mahalanobis.twoday.net/stories/756201/ "Stochastic Calculus :: Itô-Döblin formula", Michael Stastny]</ref>
== Визначення==
== Лема Іто для дифузійних процесів ==
Дано випадковий процес <math>X=(X_t)_{t\ge0}</math>, який задано на фільтрованому ймовірністному просторі <math>\left(\Omega, \mathfrak{F}, (\mathfrak{F}_t)_{t\ge0}, P \right)</math> з потоком <math>(\mathfrak{F}_t)_{t\ge0}</math>.
Нехай дано [[Стохастичне диференціальне рівняння]]
Найпростіше формулювання леми Іто: для [[дифузійний процес|дифузійного процесу]]
<center>
<math>X_t=X_0+\int\limits_0^ta(s,\omega)ds+\int\limits_o^tb(s,\omega)dB_s</math>,
</center>
де <math>B=\left(B_t, \mathfrak{F}_t\right)_{t\ge0}</math> — броуніський рух.
:<math> dX_t= \sigma_t\,dB_t + \mu_t\,dt</math>
Нехай тепер <math>\;F(t,x)</math> — задана на <math>\R_+ \times \R</math> неперервна функція из класу <math>C^{1,2}</math>, тобто та, яка має похідні <math>\frac{\partial F}{\partial t}</math>, <math>\frac{\partial F}{\partial x}</math>, <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}</math>.
де <math>dB_t\,</math> диференціал [[Вінерівський процес|Вінерівського процесу]]. Виразом <math>(dB_t)^2\,</math> не можна знехтувати у [[розклад Тейлора|розкладі Тейлора]], він еквівалентний <math>dt\,</math>, тоді як <math>(dB_t)^3\approx dB_t dt\approx (dt)^{\frac{3}{2}}</math> так само як і <math>(dt)^2\,</math> зануляється і ними можна знехтувати. Тому для двічі неперервно-диференційовної функції ''ƒ''(''t'', ''x'') (тобто для цієї функції визначені перша і друга частинні похідні) від двох дійсних параметрів ''t'' і ''x'', використовуючи розклад Тейлора
При цих припущенях:
:<math>
\begin{align}
df(t,x) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2f}{\partial t^2} (dt)^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial x} dt dx + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dx)^2 \right) + \cdots ▼\end{align}
використовуючи позначення
:<math>
f'(t,x)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x),\quad f''(t,x)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(t,x),\quad
\dot{f}(t,x)=\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)
</math>
і замінюючи <math>dx\,</math> на <math>\sigma_t\,dB_t + \mu_t\,dt</math>, отримуємо
:<center><math>
▲dfdF(t, x X_t) = \left[ \frac{\partial fF}{\partial t} dt + a(t,\omega)\frac{\partial fF}{\partial x} dx + \ frac{1}{frac12b^2 }(t,\ leftomega)( \frac{\partial^ 2f}{\partial t^2} (dt2F) ^2 + 2 \ frac{\partial^2 f}{\partial t \partial x}right] dt dx + \frac{\partial ^2 fF}{\partial x ^2} b( dx)^2 t,\ rightomega) + \cdotsdB_t
\begin{align}
df(t,X_t)&= \dot{f}(t,X_t)\,dt +f'(t,X_t)(\mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t)+\frac{1}{2}f''(t,X_t)\sigma^2_t\,dt=\\
&=\left(\dot{f}(t,X_t)+\mu_tf'(t,X_t)+\frac{\sigma_t^2}{2}f''(t,X_t)\right)dt+f'(t,X_t)\sigma_t\,dB_t
\end{align}
</math>
Кажучи більш строго, при кожному <math>t>0</math> для <math>F(t,X_t)</math> справедлива наступна формула Іто:
Багатовимірний варіант,
:<center><math>
F(t, X_t) = F(0,X_0) + \int\limits_0^t\left[ \frac{\partial F}{\partial s} +a(s,\omega)\frac{\partial F}{\partial x}+\frac12b^2(s,\omega)(\partial^2F) \right] ds+\int\limits_0^t\frac{\partial F}{\partial x}b(s,\omega)dB_s
df\left(t,X_{t}\right)=\dot{f}_{t}\left(t,X_{t}\right)dt+\nabla_{X_{t}}^{T}f\cdot dX_{t}+\frac{1}{2}dX^{T}_{t}\cdot\nabla_{X_{t}}^{2}f\cdot dX_{t}
</math></center>
де <math>X_{t}=\left(X_{t,1},X_{t,2},\cdots,X_{t,n}\right)^{T}</math> вектор дифузійних процесів, <math>\dot{f}_{t}\left(t,X\right)</math> частинна похідна по ''t'',
<math>\nabla_{X}^{T}f</math> [[градієнт]] функції ''ƒ'' по ''X'', і <math>\nabla_{X}^{2}f</math> [[Матриця Гессе]] функції ''ƒ'' по ''X''.
== Неперервні напівмартингали ==
== Посилання==
Більш загально формула Іто виконується для будь-якого неперервного ''d''-вимірного [[напівмартингал|напівмартингалу]] ''X'' = (''X''<sup>1</sup>,''X''<sup>2</sup>,…,''X''<sup>''d''</sup>), і двічі неперервно-диференційовної і дійснозначної функції ''f'' в '''R'''<sup>''d''</sup>.
* [http://synset.com/ru/Стохастический_мир Стохастический мир] — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
Іноді формулу презентують з перехресною варіацією наступним чином, ''f''(''X'') напівмартингал, що задовольняє формулу Іто
:<math>df(X_t) = \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^df_{ij}(X_t)\,d[X^i,X^j]_t.</math>
В цьому виразі, ''f''<sub>''i''</sub> — [[частинна похідна]] функції ''f''(''x'') по ''x''<sup>''i''</sup>, і [''X''<sup>''i''</sup>,''X''<sup>''j''</sup> ] — квадратична варіація процесів ''X''<sup>''i''</sup> і ''X''<sup>''j''</sup>.
== Див. також ==
*[[Інтеграл Іто]]
*[[Теорема Ґірсанова]]
*[[Вінерівський процес]]
*[[Формула Фейнмана-Каца]]
[[Категорія:Випадкові процеси]]
== Література ==
<references/>
[[Категорія:Теорія випадкових процесів]]
[[Категорія:Фінансова математика]]
[[de:Lemma von Itō]]
[[en:Itō's lemma]]
[[fr:Lemme d'Itô]]
[[it:Lemma di Itô]]
[[he:הלמה של איטו]]
[[ja:伊藤の補題]]
[[pt:Lema de Itō]]
[[sv:Itōs lemma]]
[[zh-yue:伊藤引理]]
| 