Міра Гаусдорфа: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Створена сторінка: '''Міра Хаусдорфа''' — збірна назва класу мір, визначених на [[Борелівська с... |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Міра Хаусдорфа''' — збірна назва класу [[Міра множини|мір]], визначених на [[Борелівська сигма-алгебра|борелівській <math>\sigma</math>-алгебрі]] <math>\mathcal{B}(X)</math> [[Метричний простір|метричного простору]] <math>X</math>.
== Визначення==
[[Хаусдорф
: <math>\lambda(B,\;\varepsilon)=\inf\left\{\sum_{i=1}^n l(A_i)\right\},</math>
де нижня межа береться за всіма кінцевим або зліченним [[
: <math>B\subset\bigcup_{i=1}^n A_i\in\mathcal{U}</math>
і
Рядок 13:
== Приклади ==
# Нехай<math>\mathcal{U}</math> — сукупність всіх куль на <math>X</math>, a <math>l(A)=(\mathrm{diam}\,A)^\alpha</math>, де <math>\alpha>0</math>. Тоді відповідна міра <math>\lambda</math> буде називатися ''[[Розмірність Хаусдорфа#-міра Хаусдорфа|<math>\alpha</math>-мірою Хаусдорфа]]''. При <math>\alpha=1</math> така міра буде називатися ''лінійною мірой Хаусдорфа'', а при <math>\alpha=2</math> — ''пласкою мірой Хаусдорфа''.
# Якщо <math>X=\R^{n+1}</math>, <math>\mathcal{U}</math> — сукупність циліндрів з кульовими основами і осями, паралельними до напрямку осі <math>x_{n+1}</math> и <math>l(A)</math> рівна <math>n</math>-мірному [[Об'єм (геометрія)|об'єм]]у осьового перерізу циліндра <math>A\in\mathcal{U}</math>, то відповідна міра Хаусдорфа называється ''циліндричною мірой''.
== Література ==
|