Еліптична функція: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Alexbot (обговорення | внесок) м робот додав: he:פונקציה אליפטית |
Немає опису редагування |
||
Рядок 19:
називають ''періодом'' функції <math>f</math>.
Якщо еліптична функція <math>f(z)</math> не рівна [[константа|константі]], то усі її періоди утворюють адитивну [[дискретна група|дискретну підгрупу]] комплексних чисел:
:Дійсно якщо <math>\omega_1</math> і <math>\omega_2</math> два періоди еліптичної функції то <math>-\omega_1, \omega_1 + \omega_2, 0\,</math> теж є періодами, отже періоди утворюють адитивну групу. Щоб довести, що дана група є дискретною достатньо знайти константу <math>C > 0</math> таку, що єдиним періодом, що задовольняє нерівність <math>|\omega| < C\,</math> є <math>\omega = 0\,</math>. Нехай <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> — деяка неособлива точка. Тоді в деякому [[окіл|околі]] цієї точки функція <math>f(z)</math> рівна сумі свого [[ряд Тейлора|ряду Тейлора]]:
:<math>f(z) = c_0 + c_1(z-z_0)+ c_2(z-z_0)^2+ \ldots</math>
:В достатньо малому околі ця сума домінується першим ненульовим членом, тож для деякої константи <math>C > 0</math> маємо:
:<math>0 < |z - z_0| < C \Longrightarrow f(z) \neq c_0</math>
:що й доводить твердження.
Рядок 30:
<math>\omega = ma + nb\,</math>.
Дана пара не є єдиною. Якщо ''a'' і ''b'' — фундаментальні періоди, що визначають деяку ґратку, то таку ж ґратку визначають і фундаментальні періоди ''d' ''
::<math>\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}</math>
:рівний одиниці.
Рядок 44:
:Якщо еліптична функція <math>f(z)</math> не має полюсів то вона [[неперервна функція|неперервна]] в усій множині <math>\mathbb{C}</math>. Оскільки фундаментальний паралелограм є компактною множиною, то для всіх його точок виконується [[нерівність]] <math>|f(z)| \leq M</math> для деякого дійсного числа ''M''. Зважаючи на періодичність дана нерівність виконуватиметься в усій комплексній площині. Отже <math>f(z)</math> — обмежена, аналітична функція і згідно [[теорема Ліувіля (комплексний аналіз)|теореми Ліувіля]] вона рівна константі.
* Якщо еліптична функція <math>f(z)</math> не має полюсів на межі паралелограма <math>\alpha+\Pi</math>, то сума
* Будь-яка еліптична функція з періодами <math>a</math> і <math>b</math> може бути представлена у вигляді
| |||